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Totale Wahrscheinlichkeit: Folgerung aus Aufgabenstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Di 10.02.2009
Autor: Marcel08

Aufgabe
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei [mm] p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufäälig herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei [mm] \bruch{12}{23}. [/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die Unabhängigkeitsannahme gemacht.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer zufällig
   ausgewählten Familie genau ein Junge ist?

b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Junge
   genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt genau einem  
   Jungen handelt?

Hinweis:  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}} [/mm] für 0<p<1.

Hallo Matheraum-Community,



der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:


Seien A und [mm] B_{k}, [/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse


A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen Jungen

[mm] B_{k} [/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k Kinder



Aus der Aufgabestellung folgen:


[mm] P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k}, [/mm] k=0,1,...

[mm] P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1} [/mm] für [mm] k\ge1, [/mm]

[mm] P(A|B_{0})=0 [/mm]




Meine Frage:


Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm] P(A|B_{k}) [/mm] auf? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor allem nicht erkennen, woher die Basis [mm] \bruch{11}{23} [/mm] aus [mm] (\bruch{11}{23})^{k-1} [/mm] kommt.





Gruß, Marcel

        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 10.02.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
>  
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]

   .... also [mm] p_k>0 [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm]
   .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien    [kopfschuettel]

> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig
> herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei
> [mm]\bruch{12}{23}.[/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit
> verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die
> Unabhängigkeitsannahme gemacht.
>  
> a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer
> zufällig
> ausgewählten Familie genau ein Junge ist?
>  
> b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür,
> dass der Junge
> genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt
> genau einem  
> Jungen handelt?
>  
> Hinweis:  [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}}$ [/mm] für 0<p<1.
>
> der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:
>  
> Seien A und [mm]B_{k},[/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse
>  
> A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen Jungen
>  
> [mm] B_k [/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k Kinder
>
> Aus der Aufgabestellung folgen:
>  
> $\ [mm] P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},$ [/mm] k=0,1,...
>  
> $\ [mm] P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1}$ [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 1
>  
> $\ [mm] P(A|B_{0})=0$ [/mm]
>  
>
> Meine Frage:
>  
>
> Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> auf ? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor
> allem nicht erkennen, woher die Basis [mm]\bruch{11}{23}[/mm] aus
> [mm](\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] kommt.



Hallo Marcel,

[mm] P(A|B_k) [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie,
die genau k Kinder hat, genau einen Jungen und k-1
Mädchen hat. Wegen [mm] P(Junge)=\bruch{12}{23} [/mm] ist [mm] P(Maedchen)=1-\bruch{12}{23}=\bruch{11}{23} [/mm]
Der Faktor k in der Formel steht dafür, dass der Junge
das älteste, zweitälteste, ... , jüngste Kind sein kann.


Gruß    Al-Chw.




Bezug
                
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Di 10.02.2009
Autor: Marcel08


> > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
>  >  
> > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
>
> .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
>     .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien    
> [kopfschuettel]

Was meinst du damit? :-)

> > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem
> zufällig
> > herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei
> > [mm]\bruch{12}{23}.[/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit
> > verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die
> > Unabhängigkeitsannahme gemacht.
>  >  
> > a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer
> > zufällig
> > ausgewählten Familie genau ein Junge ist?
>  >  
> > b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür,
> > dass der Junge
> > genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt
> > genau einem  
> > Jungen handelt?
>  >  
> > Hinweis:  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}}[/mm] für
> 0<p<1.
>  >

> > der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:
>  >  
> > Seien A und [mm]B_{k},[/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse
>  >  
> > A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen
> Jungen
>  >  
> > [mm]B_k[/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k
> Kinder
> >
> > Aus der Aufgabestellung folgen:
>  >  
> > [mm]\ P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},[/mm] k=0,1,...
>  >  
> > [mm]\ P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] für
> [mm]k\ge[/mm] 1
>  >  
> > [mm]\ P(A|B_{0})=0[/mm]
>  >  
> >
> > Meine Frage:
>  >  
> >
> > Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> > auf ? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor
> > allem nicht erkennen, woher die Basis [mm]\bruch{11}{23}[/mm] aus
> > [mm](\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] kommt.
>  
>
>
> Hallo Marcel,
>
> [mm]P(A|B_k)[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie,
>  die genau k Kinder hat, genau einen Jungen und k-1
>  Mädchen hat. Wegen [mm]P(Junge)=\bruch{12}{23}[/mm] ist
> [mm]P(Maedchen)=1-\bruch{12}{23}=\bruch{11}{23}[/mm]
>  Der Faktor k in der Formel steht dafür, dass der Junge
>  das älteste, zweitälteste, ... , jüngste Kind sein kann.
>  
>
> Gruß    Al-Chw.
>  

Hallo Al_Chw.


Vielen Dank, das hat mir etwas weitergeholfen.

Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher Formel sich die drei Faktoren aus [mm] P(A|B_{k}) [/mm] zusammensetzen.

Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis am Ende der Aufgabenstellung?


Gruß, Marcel
  


Bezug
                        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Di 10.02.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> > > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
>  >  >  
> > > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
> >
> > .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien    

  

> Was meinst du damit? :-)

Naja, meine Grosseltern väterlicherseits hatten 13 Kinder,
es gibt auch Familien mit über 20 Kindern, aber eine Familie
mit [mm] 10^{10} [/mm] Kindern gibt es definitiv nicht. Natürlich werden
auch die [mm] p_k [/mm] rasch sehr klein, aber sie werden nie Null.

> Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher
> Formel sich die drei Faktoren aus [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> zusammensetzen.
>
> Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis
> am Ende der Aufgabenstellung?

Nein, den braucht man wohl erst später. Stell dir den
k-stufigen Binärbaum für die Geschlechter-Folge der
Kinder vor. Bei k=5 führen die Pfade

    JMMMM
    MJMMM
    MMJMM
    MMMJM
    MMMMJ

zu einer Familie mit genau einem Jungen.
Der Pfad  MMMJM hat die Wahrscheinlichkeit

   [mm] \bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{12}{23}*\bruch{11}{23}=\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4 [/mm]

Bei den anderen 4 Pfaden ergibt sich dasselbe
Produkt, zusammen also

     $\ [mm] 5*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4$ [/mm]

Bei einer Familie mit k Kindern ist

      P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )$\ \ =\ [mm] k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1}$ [/mm]


LG

Bezug
                                
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Di 10.02.2009
Autor: Marcel08


> > > > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
>  >  >  >  
> > > > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > > > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > > > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
> > >
> > > .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
>  > > .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien    

>
> > Was meinst du damit? :-)
>  
> Naja, meine Grosseltern väterlicherseits hatten 13 Kinder,
>  es gibt auch Familien mit über 20 Kindern, aber eine
> Familie
>  mit [mm]10^{10}[/mm] Kindern gibt es definitiv nicht. Natürlich
> werden
> auch die [mm]p_k[/mm] rasch sehr klein, aber sie werden nie Null.

Okay :-)

> > Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher
> > Formel sich die drei Faktoren aus [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> > zusammensetzen.
> >
> > Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis
> > am Ende der Aufgabenstellung?
>  
> Nein, den braucht man wohl erst später. Stell dir den
>  k-stufigen Binärbaum für die Geschlechter-Folge der
>  Kinder vor. Bei k=5 führen die Pfade
>  
> JMMMM
>      MJMMM
>      MMJMM
>      MMMJM
>      MMMMJ
>  
> zu einer Familie mit genau einem Jungen.
>  Der Pfad  MMMJM hat die Wahrscheinlichkeit
>  
> [mm]\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{12}{23}*\bruch{11}{23}=\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4[/mm]
>  
> Bei den anderen 4 Pfaden ergibt sich dasselbe
> Produkt, zusammen also
>  
> [mm]\ 5*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4[/mm]
>  
> Bei einer Familie mit k Kindern ist
>
> P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )[mm]\ \ =\ k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^k[/mm]
>  

Hier hast du dann wohl versehentlich eine 1 vergessen

[mm] k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1} [/mm]


Vielen Dank für die schöne Erklärung.

> LG


Bezug
                                        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 10.02.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> > P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )[mm]\ \ =\ k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^k[/mm]
>    
> Hier hast du dann wohl versehentlich eine 1 vergessen

klar - [sorry]
  

> [mm]k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1}[/mm]


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