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| Aufgabe | | Ist die Funktion f(x,y,z)=xy-z*cos(xy) total differenzierbar? |
Hallo,
es heißt, dass eine Funktion dann total differenzierbar ist, wenn gilt:
1) [mm] f(\vec{x}) [/mm] ist stetig auf D (D=Definitionsbereich)
2) f ist partiell differenzierbar und [mm] \vec{k}=grad(f(\vec{x_{0}})
[/mm]
3) es existiert die Richtungsableitung für jede Richtung [mm] \vec{v}, [/mm] sodass [mm] d_{\vec{v}}f(\vec{x_{0}})=<\vec{v},\vec{k}>
[/mm]
Wenn ich überprüfe, ob (1), (2) und (3) in o.a. Funktion zutreffen, ohne nachzurechnen, würde ich sagen, dass o.a. Funktion total differenzierbar ist.
Denn
1) die Funktion ist stetig auf D (zB die reellen Zahlen, wenn so definiert)
2) die Funktion ist partiell differenzierbar
3) es existiert meines Wissens die Richtungsableitung für jede Richtung
Ähnliches Ergebnis erhalte ich bei
[mm] f(x,y,z)=x^{2}y-y^{2}z+xz^{2}-cos(z)
[/mm]
Stimmt meine Erkenntnis?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Hallo,
> Ist die Funktion f(x,y,z)=xy-z*cos(xy) total
> differenzierbar?
> Hallo,
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> es heißt, dass eine Funktion dann total differenzierbar
> ist, wenn gilt:
>
> 1) [mm]f(\vec{x})[/mm] ist stetig auf D (D=Definitionsbereich)
> 2) f ist partiell differenzierbar und
> [mm]\vec{k}=grad(f(\vec{x_{0}})[/mm]
> 3) es existiert die Richtungsableitung für jede Richtung
> [mm]\vec{v},[/mm] sodass
> [mm]d_{\vec{v}}f(\vec{x_{0}})=<\vec{v},\vec{k}>[/mm]
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> Wenn ich überprüfe, ob (1), (2) und (3) in o.a. Funktion
> zutreffen, ohne nachzurechnen, würde ich sagen, dass o.a.
> Funktion total differenzierbar ist.
> Denn
>
> 1) die Funktion ist stetig auf D (zB die reellen Zahlen,
> wenn so definiert)
> 2) die Funktion ist partiell differenzierbar
> 3) es existiert meines Wissens die Richtungsableitung für
> jede Richtung
>
> Ähnliches Ergebnis erhalte ich bei
>
> [mm]f(x,y,z)=x^{2}y-y^{2}z+xz^{2}-cos(z)[/mm]
>
> Stimmt meine Erkenntnis?
>
> Freue mich auf eine Antwort.
>
> Gruß, h.
das uebliche kriterium fuer totale diffbarkeit ist ja eigentlich, dass die partiellen ableitungen stetig sind. das ist meistens sehr leicht nachzupruefen, auch in deinem fall.
dein kriterium finde ich ein wenig unhandlicher, vor allem punkt 3). das nachzurechnen, ohne sich in zirkelschluessen zu verheddern (anwendung der kettenregel), halte ich fuer wenig angenehm.
darueber hinaus koennte man natuerlich auch argumentieren, dass $f$ als verkettung von diffbaren funktionen diffbar ist.
gruss
matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Di 29.01.2008 | | Autor: | Braunstein |
vielen dank für deine rasche Antwort.
hoffentlich reicht bereits das Beweisen der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
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