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Totale Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Do 14.02.2008
Autor: Walde

Hallo liebes Forum,

es gilt (mal abgekürzt), dass wenn alle partiellen Ableitungen einer Funktion existieren und auch stetig sind (in einem Punkt), die Funktion total diff'bar ist (in dem Punkt).

Dies ist nur eine hinreichende Bedingung,d.h. eine Funktion kann total diff'bar sein, obwohl nicht alle ihrer part. Ableitungen stetig sind.  

Mein Anliegen:

Kann mir jemand  ein Beispiel für eine solche Funktion (am besten von [mm] \IR^2\to\IR^2) [/mm] geben?

LG walde

        
Bezug
Totale Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Do 14.02.2008
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Hallo liebes Forum,
>  
> es gilt (mal abgekürzt), dass wenn alle partiellen
> Ableitungen einer Funktion existieren und auch stetig sind
> (in einem Punkt), die Funktion total diff'bar ist (in dem
> Punkt).
>  
> Dies ist nur eine hinreichende Bedingung,d.h. eine Funktion
> kann total diff'bar sein, obwohl nicht alle ihrer part.
> Ableitungen stetig sind.  
>
> Mein Anliegen:
>  
> Kann mir jemand  ein Beispiel für eine solche Funktion (am
> besten von [mm]\IR^2\to\IR^2)[/mm] geben?
>  
> LG walde  

gute frage. ich wuerde nach einer antwort im eindimensionalen suchen und diese dann versuchen zu verallgemeinern:

das parade-beispiel fuer eine funktion, die diffbar aber nicht stetig diffbar ist, ist im $R$:

[mm] $f(x)=x^2\sin(\frac1x)$ [/mm]

im mehrdimensionalen kann man es dann entsprechend mal mit

[mm] $f(x)=|x|^2\sin\left(\frac{1}{|x|^2}\right)$ [/mm]

also dem rotationssymmetrischen pendant zur fkt. oben (x in [mm] $R^n$). [/mm]

Habe es jetzt nicht 100%ig zu ende gedacht, aber ich denke, diese funktion ist in 0 diffbar, waehrend die partiellen ableitungen bis in den ursprung hinein oszillieren (wie im 1-dim.)

gruss
matthias

Bezug
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