Torusvolumen berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers(Torus) mit Hilfe der Integration! Kreisradius = 3; Abstand zum Kreismittelpunkt = 10. |
Hallo,
wie oben in der Frage schon steht muss ich einen Torus berechnen, aber nicht mit allgemeinen fomrlen sondern mit Integralen.
Diesemal bin ich komplett auf eure Hilfe angeweisen, da ich das noch nie gemacht habe. Ich hab mich aber schon ein bisschen informiert, wie es denn gehen könnte.
Dabei fand ich die Formeln bei Wikipedia, welche ganz gut ausschauen. Oder gibts da noch andere?
MfG Sneiper
Ps: Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hallo Sneiper,
> Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers(Torus) mit
> Hilfe der Integration! Kreisradius = 3; Abstand zum
> Kreismittelpunkt = 10.
> Hallo,
>
> wie oben in der Frage schon steht muss ich einen Torus
> berechnen, aber nicht mit allgemeinen fomrlen sondern mit
> Integralen.
> Diesemal bin ich komplett auf eure Hilfe angeweisen, da
> ich das noch nie gemacht habe. Ich hab mich aber schon ein
> bisschen informiert, wie es denn gehen könnte.
>
> Dabei fand ich die Formeln bei Wikipedia, welche ganz gut
> ausschauen. Oder gibts da noch andere?
Stelle zunächst mal die Kreisgleichung auf.
Dann musst Du die Rotationsachse bestimmen.
Und danach richtet sich das Integral, das zu berechnen ist.
>
> MfG Sneiper
>
> Ps: Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Da hab ich schon das erste Problem.
Wie komme ich mit so wenig Werten auf eine Funktionsgleichung?
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
Die allgemeine Kreisgleichung sollte ja bekannt sein mit:
[mm] $$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2$$
[/mm]
Dabei kannst Du [mm] $x_M$ [/mm] beliebig wählen; am einfachsten natürlich [mm] $x_M [/mm] \ := \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Auf diese Gleichung bin ich auch gestoßen, aber jetzt gehts erstmal los mit den blöden Fragen meinerseits:
Wofür stehen $ [mm] x_M [/mm] \ := \ 0 $ und die anderen Werte in der Kreisgleichung?
Ich werd mal ein bisschen mit dem GTR rumprobieren.
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
[mm] $x_M$ [/mm] und [mm] $y_M$ [/mm] geben die Koordinaten des Kreismittelpunktes an und $r_$ den Kreisradius.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Gibt es eine möglichkeit diese Gleichung mit dem Taschenrechner zu zeichnen? Ich fürchte nämlich, dass mein TI-84 Plus nicht in der Lage ist ein Y in seine Gleichung aufzunehmen, der hat nicht einmal die Taste dafür.
Oder kann ich alles nach y umstellen und es dann zeichnen?
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
Ich denke mal, dass Du diese gleichung erst nach $y \ = \ ...$ umstellen musst. Und dann kanst Du mit Deiner Rechnung auch gleich weiter machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich hab jetzt mal nach y umgestellt und komme auf:
$ y= [mm] -x+x_M\right+y_M\right [/mm] +r $
Das is laut meinem TI logischerweise ne linearfunktion, aber kein Kreis.
Mit mir muss man grad etwas starke Nerven haben.
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
Du wirst doch nicht einfach aus einer Summe / Differenz die Wurzel gezogen haben ...
Denn es gilt im Allgemeinen: [mm] $\wurzel{a\pm b} [/mm] \ \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}\pm\wurzel{b}$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 01.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Hm, genau das hab ich gemacht. Hab mich schon gewundert, hoffe ma das liegt an der Uhrzeit. Ich grübel noch ein bisschen über der Gleichtung, ansonsten versuch ichs morgen früh noch einmal.
Ansonsten schonmal vielen Dank bis hier!
MfG Sneiper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
So ich habe jetzt mal eine Beispielaufgabe:
$ [mm] f1(x)=3+\wurzel{1-(x-4)²} [/mm] $
$ [mm] f2(x)=3-\wurzel{1-(x-4)²} [/mm] $
Das ergibt ja eine Art Kreis oder eher Oval im Koordinatensystem und ich will diesen Kreis um die Y-Achse rotieren lassen. Kann ich dabei einfach die Differenz aus dem Rotationsvolumen f1-f2=V bilden?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> So ich habe jetzt mal eine Beispielaufgabe:
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> [mm]f1(x)=3+\wurzel{1-(x-4)²}[/mm]
> [mm]f2(x)=3-\wurzel{1-(x-4)²}[/mm]
>
> Das ergibt ja eine Art Kreis oder eher Oval im
> Koordinatensystem und ich will diesen Kreis um die Y-Achse
> rotieren lassen. Kann ich dabei einfach die Differenz aus
> dem Rotationsvolumen f1-f2=V bilden?
Ja, das kannst Du machen.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Demnach sieht mein Rechenweg, bei der Rotation um die y-Achse, in etwa so aus:
V = $ [mm] (2\cdot{}\pi \integral_{a}^{b}{(x\cdot{}(3+\wurzel{1-(x-4)²} )) dx}) [/mm] - [mm] (2\cdot{}\pi \integral_{a}^{b}{(x\cdot{}( 3-\wurzel{1-(x-4)²})) dx}) [/mm] $
Richtig oder falsch? ...oder etwas von beidem?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Demnach sieht mein Rechenweg, bei der Rotation um die
> y-Achse, in etwa so aus:
>
> V = [mm](2\cdot{}\pi \integral_{a}^{b}{(x\cdot{}(3+\wurzel{1-(x-4)²} )) dx}) - (2\cdot{}\pi \integral_{a}^{b}{(x\cdot{}( 3-\wurzel{1-(x-4)²})) dx})[/mm]
>
> Richtig oder falsch? ...oder etwas von beidem?
Ich sach mal, etwas von beidem.
Das Volumen bei Drehung um y-Achse einer Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] berechnet sich doch so:
[mm]V_{y}=\pi \integral_{y_{0}}^{y_{1}}{x^{2}\left(y\right) \ dy}=\pi \integral_{x_{0}}^{x_{1}}{x^{2}f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> MfG
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Laut Wikipedia funktionieren beide Gleichungen:
![[]](/images/popup.gif) Klick
Also?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Laut Wikipedia funktionieren beide Gleichungen:
> Klick
>
> Also?
Ich hab keine Erklärung für diese Formel:
[mm]V = 2 \pi \cdot \integral_{a}^{b} {x \cdot f\left(x\right) \ dx[/mm]
Eine Vermutung habe ich aber:
[mm]\integral_{a}^{b} {x^{2} \cdot f'\left(x\right) \ dx=\left[x^{2} \cdot f\left(x\right)\right]_{a}^{b}-2*\integral_{a}^{b} {x \cdot f\left(x\right) \ dx[/mm]
Soll die obige Formel stimmen, dann muß
[mm]\left[x^{2} \cdot f\left(x\right)\right]_{a}^{b}=b^{2}*f\left(b)-a^{2}*f\left(a\right)[/mm]
gleich Null sein.
Oder hast Du vielleicht eine andere Erklärung?
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich probier das grad zu lösen, jedoch wieß ich nicht genau wie ich die Ableitung von
$ [mm] f1(x)=3+\wurzel{1-(x-4)²} [/mm] $
bilde. Dabei bräuchte ich ganz dringend Hilfe oder sogar eine Lösung.
Ich benötige ja $ f'1 $ für meine Aufgabe. Dieses $ f'1 $ muss ich danach noch mit $ [mm] x^2 [/mm] $ multiplizieren.
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich probier das grad zu lösen, jedoch wieß ich nicht genau
> wie ich die Ableitung von
> [mm]f1(x)=3+\wurzel{1-(x-4)²}[/mm]
> bilde. Dabei bräuchte ich ganz dringend Hilfe oder sogar
> eine Lösung.
>
> Ich benötige ja [mm]f'1[/mm] für meine Aufgabe. Dieses [mm]f'1[/mm] muss ich
> danach noch mit [mm]x^2[/mm] multiplizieren.
Schreibe das mal so:
[mm]f_{1}(x)=3+\left(1-(x-4)^{2}\right)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Für die Bestimmung der Ableitung wendest Du die Potenzregel in Verbindung mit der Kettenregel an.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Mit externer Hilfe kam ich jetzt auf:
$ f'1 [mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}*(-2x+8) [/mm] $
und
$ f'2 = [mm] -[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}*(-2x+8)] [/mm] $
Ist das richtig abgeleitet?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Mit externer Hilfe kam ich jetzt auf:
>
> [mm]f'1 =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}*(-2x+8)[/mm]
>
> und
> [mm]f'2 = -[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}*(-2x+8)][/mm]
>
> Ist das richtig abgeleitet?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ich deine ursprüngliche Aufgabe sehe, weiss ich nicht, warum du grade dieen Kreis rotieren willst.
a) er hat Radius 1 und nicht 3,
b) er hat nicht Abstand 10 vom mittelpunkt.
dabei find ich b zweideutig, die 10 cm können der Abstand Mittelpunkt Torus -InnenTeil Torus sein, oder Mittelpunkt Torus bis Innenrand Torus.
Auf jeden Fall kannst du nen Kreis um einen Punkt auf der y- Achse nehmen und ihn um die x-Achse rotieren, oder einen Kreis mit Mittelpunkt auf der x- Achse und um die y- Achse rotieren!
Also zeichne dir die Kreise, die du rotieren willst erst mal sebst (ohne TR) und überleg dann welche Stücke du rotieren musst und voneinander abziehen, so wie dus vorgeschlagen hast kriegst du keinen Torus.
(ich würd nur das Volumen des halben Torus ausrechnen!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Nach der "Mitteilung" habe ich mir eine andere Aufgabe ausgesucht, tut mir leid wenn das jetzt etwas Verwirrung gestiftet hat.
Ich denke ich muss jetzt wie beschrieben das Volumen $ f2(x) $ von dem Volumen $ f2(x) $ abziehen.... qusi aus dem "Baumkuchen" das Unterteil wegschneiden damit ich nen "schwebenden Donut" bekomme. Zumindest rein grafisch. Wie meinst du das?
MfG Sneiper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sneiper
Erstmal nur [mm] f_1 [/mm] das beschreibt einen Halbkreisbogen, Kreismittelpunkt bei (4,3) Radius 1 höchster Punkt bei (4,4)
Du kannst kein vernünftiges Volumen rauskriegen, wenn du den Bogen mit deiner Formel um die Y-Achse rotieren lässt.
Du bekommst das gesamte Volumen des Rotationskörpers der zwischen dem rechten Vietelbogen und der y-Achse ist, und dazu noch das Volumen des linken Kreisbogens bis zur y- Achse.!
Wenn du nen Torus willst musst du das Teil von x=4 bis x=5 rotieren und das von x=3 bis x=4 abziehen! Mals mal auf!
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich weiß jetzt wie du das Meinst. Gute Erklärung! Und mit der Unterweite mache ich das bestimmt genauso.
Also ist das Volumen des Torus?
$ V= [( [mm] \pi \integral_{4}^{5}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx})-(\pi \integral_{3}^{4}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx})] [/mm] + [( [mm] \pi \integral_{4}^{5}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx})-(\pi \integral_{3}^{4}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx})]$
[/mm]
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich weiß jetzt wie du das Meinst. Gute Erklärung! Und mit
> der Unterweite mache ich das bestimmt genauso.
>
> Also ist das Volumen des Torus?
> [mm]V= [( \pi \integral_{4}^{5}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx})-(\pi \integral_{3}^{4}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx})] + [( \pi \integral_{4}^{5}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx})-(\pi \integral_{3}^{4}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx})][/mm]
Wenn Du das so rechnest, kommt [mm]V=0[/mm] heraus.
Aus meiner Sicht, kannst Du so rechnen:
[mm]V=\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx}}+\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx}}[/mm]
Da kommt auch das richtige heraus.
Zur Probe kannst es ja mit Polarkoordinaten probieren:
[mm]x=4+\cos\left(t\right)[/mm]
[mm]y=3+\sin\left(t\right)[/mm]
Dann ergibt das Integral zu:
[mm]V=\pi \integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}\left(t\right) \dot{y}\left(t\right) \ dt}=\pi \integral_{0}^{2*\pi}{\left(4+\cos\left(t\right)\right)^{2} \cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Rechne ich mit dieser Methode nicht eine Art Untertasse/Ufo aus? Ich will doch nen "Donut"... also wie du weißt das Torusvolumen berechnen.
Nach Leduarts Ausführung muss ich doch sogesehen ein Loch in die Untertasse sägen, also das innere Volumen vom Gesamtvolumen abziehen.
Kurz gesagt die Differenz aus "großer Untertasse" - "kleiner Untertasse".
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Rechne ich mit dieser Methode nicht eine Art Untertasse/Ufo
> aus? Ich will doch nen "Donut"... also wie du weißt das
> Torusvolumen berechnen
Mit dem, was ich im letzten Post geschrieben habe, rechnest Du das Volumen des Torus aus.
>
> Nach Leduarts Ausführung muss ich doch sogesehen ein Loch
> in die Untertasse sägen, also das innere Volumen vom
> Gesamtvolumen abziehen.
> Kurz gesagt die Differenz aus "großer Untertasse" -
> "kleiner Untertasse".
Laut Deiner Volumenformel im letzten Post kommt nicht das gewünschte heraus. Es muß für das Volumen etwas mit [mm]\pi^{2}[/mm] herauskommen.
Siehe dazu auch: Torus - Volumen und Oberfläche
>
> MfG Sneiper
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 04.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
So, ne Nacht drüber geschlafen und ich glaube du hast recht mit deinem Rechenweg.
Ich hab das mal ausgerechnet und komme auf ein Volumen von V=1381,74 VE.
Das ganze hab ich mit dem Taschenrechner grafisch überprüft und es kommt das Selbe raus.
Hast du das gleiche raus?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> So, ne Nacht drüber geschlafen und ich glaube du hast recht
> mit deinem Rechenweg.
>
> Ich hab das mal ausgerechnet und komme auf ein Volumen von
> V=1381,74 VE.
> Das ganze hab ich mit dem Taschenrechner grafisch
> überprüft und es kommt das Selbe raus.
> Hast du das gleiche raus?
Gegenfrage: Mit welchen Werten hast Du gerechnet.
Nach der Formel gilt ja:
[mm]V=2*\pi^{2}*r^{2}*R[/mm]
Siehe hier: Rotationskörper
Mit Deinem V ergibt sich [mm]r^{2}*R=70[/mm]
Mit welchen Daten wurde hier gerechnet?
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich habe den Rechenweg benutzt den du mir geraten hast.
Ich habe:
$ f'1 [mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8) [/mm] $
und
$ f'2 = [mm] -[\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8)] [/mm] $
in die Formel (von dir) eingesetzt
$ [mm] V=\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx}}+\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx}} [/mm] $
und es mir grafisch mit dem TI-84 Plus lösen lassen.
Also ich habe $f'1$ und $f'2$ jeweils als einzelne Funktionen in den TI eingegeben und das ganze in klammern gesetzt und mal $x²$ gerechnet. Was da jeweils als Volumen raus kam (nach dem integrieren) habe ich mal [mm] $\pi [/mm] $ gerechnet und anschließend wegen der Betragstriche ins positive umgedreht und adiert.
Die Grenzen der Integrale habe ich jeweils von 3 bis 5 errechnet.
Hab ich mich nur verrechnet?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich habe den Rechenweg benutzt den du mir geraten hast.
>
> Ich habe:
> [mm]f'1 =\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8)[/mm]
> und
> [mm]f'2 = -[\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8)][/mm]
> in die Formel (von dir) eingesetzt
> [mm]V=\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f1'\left(x\right) \ dx}}+\vmat{\pi \integral_{3}^{5}{x^{2}f2'\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> und es mir grafisch mit dem TI-84 Plus lösen lassen.
> Also ich habe [mm]f'1[/mm] und [mm]f'2[/mm] jeweils als einzelne Funktionen
> in den TI eingegeben und das ganze in klammern gesetzt und
> mal [mm]x²[/mm] gerechnet. Was da jeweils als Volumen raus kam (nach
> dem integrieren) habe ich mal [mm]\pi[/mm] gerechnet und
> anschließend wegen der Betragstriche ins positive umgedreht
> und adiert.
> Die Grenzen der Integrale habe ich jeweils von 3 bis 5
> errechnet.
>
> Hab ich mich nur verrechnet?
Ja, das kann wohl sein.
Herauskommen muß: [mm]V=8\pi^{2}[/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Dann hab ich mich wohl ganz derbe verrechnet. Ich meld mich wenn ich das nochmal versucht hab.
Bis hier her schonmal ein riesen großes Danke an alle die mir geholfen haben!
MfG Sneiper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich bin grad auf ein, für mich, recht großes Problem gestoßen.
Ich krieg das nicht hin
$ f'1 [mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8) [/mm] $
zu integrieren. Muss ich erst alles mal $x²$ rechnen oder vorher integrieren? Eine kleine Aufschlüsselung wär gut.
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich bin grad auf ein, für mich, recht großes Problem
> gestoßen.
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> Ich krieg das nicht hin
> [mm]f'1 =\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{(1-x²+8x-16)}}\cdot{}(-2x+8)[/mm]
> zu integrieren. Muss ich erst alles mal [mm]x²[/mm] rechnen oder
> vorher integrieren? Eine kleine Aufschlüsselung wär gut.
Ich glaube, da kommst Du ohne Substitution nicht aus.
Wähle hier [mm]x-4=\sin\left(t\right) \Rightarrow dx = \cos\left(t\right) \ dt[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]-\integral_{}^{}{x^{2}\bruch{x-4}{\wurzel{1-\left(x-4\right)^{2}}} \ dx}[/mm]
[mm]=-\integral_{}^{}{\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}\bruch{\sin\left(t\right)}{\wurzel{1-\sin^{2}\left(t\right)}} \cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=-\integral_{}^{}{\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}\bruch{\sin\left(t\right)}{\wurzel{\cos^{2}\left(t\right)}} \cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=-\integral_{}^{}{\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}\bruch{\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)} \cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=-\integral_{}^{}{\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}\sin\left(t\right) \ dt}[/mm]
Und dieses Integral kannst Du jetzt berechnen.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das sieht ja schon ganz gut aus. Aber wenn ich $ \sin\left(t\right) $ integriere kommt doch $ -\cos\left(t\right) $ raus. Wie soll ich das dann substituieren?
Und wie siehts mit der Klammer $ {\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2} $ aus, wie integriere ich eine Klammer mit der Potenz zwei?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Das sieht ja schon ganz gut aus. Aber wenn ich
> [mm]\sin\left(t\right)[/mm] integriere kommt doch
> [mm]-\cos\left(t\right)[/mm] raus. Wie soll ich das dann
> substituieren?
>
> Und wie siehts mit der Klammer
> [mm]{\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}[/mm] aus, wie integriere
> ich eine Klammer mit der Potenz zwei?
Du mußt zuerst das ganze Produkt
[mm]\left(\sin\left(t\right)+4\right)^{2}*\sin\left(t\right)[/mm]
ausmultiplizieren.
Dann kannst erst anfangen zu integrieren.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 06.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
So ich kam jetzt auf:
$ [mm] =-\integral_{}^{}{(\sin^3(t) + 8 * \sin^2(t) +16 * \sin dt} [/mm] $
wird ja wenn ich mich nicht täusche in der Stammfunktion zu:
$ [mm] [=-\integral_{}^{}{(0 + 8 * \pi +16 * 0 }]$
[/mm]
Und ich komm da nur auf ein Volumen von $ V = 8 [mm] \pi [/mm] $ und Mathepower meinte ja es muss $ V = 8 [mm] \pi^2 [/mm] $. Überseh ich was? Die antwort dazu bräuchte ich recht dringend.(Will jetzt aber auch nicht hetzen)
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> So ich kam jetzt auf:
> [mm]=-\integral_{}^{}{(\sin^3(t) + 8 * \sin^2(t) +16 * \sin dt}[/mm]
>
> wird ja wenn ich mich nicht täusche in der Stammfunktion
> zu:
> [mm][=-\integral_{}^{}{(0 + 8 * \pi +16 * 0 }][/mm]
>
> Und ich komm da nur auf ein Volumen von [mm]V = 8 \pi[/mm] und
> Mathepower meinte ja es muss [mm]V = 8 \pi^2 [/mm]. Überseh ich was?
> Die antwort dazu bräuchte ich recht dringend.(Will jetzt
> aber auch nicht hetzen)
Da hast Du den Faktor [mm]\pi[/mm] vor dem Integral übersehen.
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> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 06.05.2008 | | Autor: | Sneiper |
So?
$ [mm] \pi [/mm] * [mm] [=-\integral_{}^{}{(0 + 8 \cdot{} \pi +16 \cdot{} 0 }] [/mm] $
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> So?
> [mm]\pi * [=-\integral_{}^{}{(0 + 8 \cdot{} \pi +16 \cdot{} 0 }][/mm]
So:
[mm]V =-\pi*\integral_{}^{}{(\sin^3(t) + 8 \cdot{} \sin^2(t) +16 \cdot{} \sin dt} [/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mo 05.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
beachte: sint, oder cost über eine ganze Periode integriert ergeben 0 ebenso sin^3t und cos^3t (immer genausoviel unter der x- achse wie drüber!)
2. sin^2t und cos^2t über eine ganze Periode integriert ergeben dasselbe;
deshalb [mm] :\integral_{0}^{2\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{cos^2(x) dx}
[/mm]
also [mm] 2*\integral_{0}^{2\pi}{sin^2(x) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{sin^2(x)+cos^2(x) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{1 dx}=2\pi
[/mm]
Das vereinfacht viel, d.h. du musst die allgemeinen Integrale hier gar nicht lösen!
Gruss leduart
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