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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | [mm] \IZ^{3} [/mm] ein [mm] \IZ-Modul [/mm] H=<(2,5,7)>
Finde alle Torsionelemente von [mm] \IZ^{3}/H. [/mm] |
Guten Abend
Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber habe etwas Probleme..
Der Einstieg gelingt mir nicht so wirklich.. Also [mm] \IZ^{3} [/mm] habe ich einfach mal (x,y,z) genommen wobei x,y,z [mm] \in \IZ
[/mm]
Dann ist mir als erstes dieses H schon etwas suspekt.. Kann ich das so verstehen, dass das erste Element modulo 2 ist, das 2. modulo5 etc?
Also ein Torsionelement ist ja ein (x,y,z) [mm] \in \IZ^{3}, [/mm] wobei für alle (a,b,c) [mm] \in \IZ^{3} [/mm] gilt:
(x,y,z) * (a,b,c) = (0,0,0)
Das heisst als erstes wäre da sicherlich (2,5,7) und alle Vielfachen davon, n(2,5,7) für alle n [mm] \in \IZ [/mm]
Oder besser alle Elemente (2n,5m,7t) mit n,m,t [mm] \in \IZ, [/mm] oder?
Oder bedenke ich da was nicht?
Vielen Dank für die Hilfe!!
Meli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
Hab gerade gemerkt, dass die Elemente, die ich ebschrieben habe ja schon Null sind in [mm] \IZ^{3}/H..
[/mm]
Uups.. Na ja, also (0,0,0) ist sicherlich mal ein Torsionelement =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 22.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
Zudem habe ich da was bei der Definition von Torsionelement verwechselt..
Ach, es ist halt schon etwas spät.. :s
Also ein Torsionelement ist ein Element p=(x,y,z) [mm] \in\IZ^{3}\H, [/mm] für welches es ein q=(a,b,c) [mm] \IZ^{3} [/mm] gibt mit:
(x,y,z) * (a,b,c) = (0,0,0)
trotzdem komme ich nicht weiter mit der Aufgabe.. hat jemand einen Idee?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Do 22.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\IZ^{3}[/mm] ein [mm]\IZ-Modul[/mm] H=<(2,5,7)>
> Finde alle Torsionelemente von [mm]\IZ^{3}/H.[/mm]
> Guten Abend
> Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber habe
> etwas Probleme..
> Der Einstieg gelingt mir nicht so wirklich.. Also [mm]\IZ^{3}[/mm]
> habe ich einfach mal (x,y,z) genommen wobei x,y,z [mm]\in \IZ[/mm]
Es gibt bei Moduln a priori keine Multiplikation mit anderen Elementen - sondern nur mit den Skalaren, also [m]k\in\IZ[/m]
> Dann ist mir als erstes dieses H schon etwas suspekt.. Kann
> ich das so verstehen, dass das erste Element modulo 2 ist,
> das 2. modulo5 etc?
Nein, kannst du nicht.
> Also ein Torsionelement ist ja ein (x,y,z) [mm]\in \IZ^{3},[/mm]
> wobei für alle (a,b,c) [mm]\in \IZ^{3}[/mm] gilt:
> (x,y,z) * (a,b,c) = (0,0,0)
Nein, es ist eins mit: [m]n*(a,b,c)=m*(2,5,7)[/m]
Jetzt hast du dann drei Gleichungen in [m]\IZ[/m], du solltest nun folgern, was a, b, c sind. (also durch was a, b, c teilbar sind und wie es dann weitergeht)
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:39 Do 22.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
Guten Morgen :)
Zuerst mal vielen Dank für die Antwort.. Manchmal denk ich mir echt, ich bin etwas verwirrt.. :s Also ich muss ein Element aus [mm] \IZ^{3}/H [/mm] nehmen und wenn ich ein n [mm] \in \IZ [/mm] finde mit (a,b,c)*n = m*(2,5,7) ist es ein Torsionselement, nicht?
Klar, wenn a [mm] \in \IZ/2\IZ, [/mm] b [mm] \in \IZ/5\IZ [/mm] und c [mm] \in \IZ/7\IZ [/mm] ist, ist das Element (a,b,c) ein Torsionselement.
Sonst:
an=2m
bn=5m
cn=7m
also falls dies nicht der Fall ist, müsste ich Bedingungen an n stellen, nicht?
Und in der Definition heisst es, man muss einfach ein n finden, damit das ganze gilt. Kann ich dann sagen, dass wenn n [mm] \in \IZ/70\IZ [/mm] (70=2*5*7) ist, folgt, dass jedes Element ein Torsionselemnt ist, also [mm] \IZ^{3}/H [/mm] eine Torsion ist?
Vielen Dank für die Hilfe. Mel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 24.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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