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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 03.03.2009 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion,betrachte [mm] \IR [/mm] mit der euklidischen Metrik.
Zeige oder wiederlege folgende Aussagen:
i)f(U) offen [mm] \Rightarrow [/mm] U offen
U offen [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) offen
i)f(U) abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] U abgeschlossen
U abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) abgeschlossen |
Wir haben erst gerade mit der Topologie begonnen und deshalb bin ich noch nicht so bekannt mit diesen Begriffen.
Die Euklidische Metrik kennen ich: d(x,y)=|x-y|.
Ich sehe aber keinen Ansatz,wie ich anfangen soll und bin deshalb über jeden Tipp erfreut.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 03.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion,betrachte [mm]\IR[/mm] mit
> der euklidischen Metrik.
> Zeige oder wiederlege folgende Aussagen:
> i)f(U) offen [mm]\Rightarrow[/mm] U offen
> U offen [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) offen
> i)f(U) abgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] U abgeschlossen
> U abgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) abgeschlossen
> Wir haben erst gerade mit der Topologie begonnen und
> deshalb bin ich noch nicht so bekannt mit diesen
> Begriffen.
> Die Euklidische Metrik kennen ich: d(x,y)=|x-y|.
> Ich sehe aber keinen Ansatz,wie ich anfangen soll und bin
> deshalb über jeden Tipp erfreut.
Die topologische Definition von "stetig" ist "Urbilder offener Mengen sind offen".
Damit solltest du sehen können welche Aussagen wohl falsch und welche wohl richtig sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Di 03.03.2009 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Vielen Dank!
Wenn ich das also richtig sehe bedeutet dies folgendes:
A [mm] \subset [/mm] U, A offen in U [mm] \Rightarrow f^{-1}(A) [/mm] offen in X
d.h U offen [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) offen ist richtig.Dasselbe gilt für die Abgeschlossenheit.
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wie kann ich aber zeigen,dass f(U)offen [mm] \Rightarrow [/mm] U offen falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 03.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Vielen Dank!
> Wenn ich das also richtig sehe bedeutet dies folgendes:
> A [mm]\subset[/mm] U, A offen in U [mm]\Rightarrow f^{-1}(A)[/mm] offen in
> X
Ähmm... ja. Nur wieso beziehst du dich auf ein A im U? Du hast f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und dann: Wenn U offen ist in [mm] \IR, [/mm] dann ist [mm] f^{-1}(U) [/mm] offen in [mm] \IR.
[/mm]
> d.h U offen [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) offen ist richtig.Dasselbe
> gilt für die Abgeschlossenheit.
>
Das ist doch gerade anders rum als oben.
> wie kann ich aber zeigen,dass f(U)offen [mm]\Rightarrow[/mm] U offen
> falsch ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 04.03.2009 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Du hast natürlich recht.Aus den Angaben folgt also:
f(U)offen [mm] \Rightarrow [/mm] U offen ist richtig. |
Wie kann ich nun aber zeigen,dass U offen [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) offen nicht richtig ist?
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> Du hast natürlich recht.Aus den Angaben folgt also:
> f(U)offen [mm]\Rightarrow[/mm] U offen ist richtig.
> Wie kann ich nun aber zeigen,dass U offen [mm]\Rightarrow[/mm] f(U)
> offen nicht richtig ist?
Hallo,
such bzw. bastele ein Gegenbeispiel, eine stetige Funktion, für welche es nicht gilt.
Du kannst Dir ja erstmal irgendein offenes Intervall nehmen und Dir dann überlegen, wie die Funktion daürber aussehen müßte.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mi 04.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Konstante Funktionen sind stetig !
FRED
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