Topologie < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man ermittle alle inneren Punkte, Randpunkte und isolierten Punkte, sowie supremum und Infimum
A = (0,1) [mm] \cup [/mm] (1,2)
B= { x [mm] \in \IR: x^2 [/mm] < 3)} |
Inneren Punkte:
-> wenn es [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von x gibt, die ganz in A liegt
[mm] A^0 [/mm] = A
stimmt das?
Randpunkte:
-> [mm] U_{\varepsilon} [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= [/mm] {}
-> [mm] U_{\varepsilon} [/mm] (x) \ A [mm] \not= [/mm] {}
[mm] \partial [/mm] A = [mm] \{0,1,2\}
[/mm]
Isolierte Punkte:
-> [mm] U_{\varepsilon} [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] A = {x}
Ich erkenne keinen der das erfüllt
Supremum:
die kleinste obere Schranke
2
Infimum:
die größte untere Schranke
0
b)
Innere Punkte:
[mm] B^0 [/mm] = ]- [mm] \wurzel{3}, \wurzel{3}[
[/mm]
Sehr unsicher!
Randpunkte:
[mm] \partial [/mm] B = [mm] \{\wurzel{3},- \wurzel{3} \}
[/mm]
Isolierte Punkte:
weiß ich nicht, glaube keiner
Supremum
[mm] \wurzel{3}
[/mm]
Infimum
- [mm] \wurzel{3} [/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Sa 03.12.2011 | | Autor: | skoopa |
Hallöchen!
> Inneren Punkte:
> -> wenn es [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von x gibt, die ganz in A
> liegt
> [mm]A^0[/mm] = A
> stimmt das?
Jau, das stimmt so.
>
> Randpunkte:
> -> [mm]U_{\varepsilon}[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not=[/mm] {}
> -> [mm]U_{\varepsilon}[/mm] (x) \ A [mm]\not=[/mm] {}
> [mm]\partial[/mm] A = [mm]\{0,1,2\}[/mm]
Stimmt.
Wobei bei deiner Charakteriesierung für Randpunkte beide Bedingungen erfüllt sein müssen.
> Isolierte Punkte:
> -> [mm]U_{\varepsilon}[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] A = {x}
> Ich erkenne keinen der das erfüllt
>
> Supremum:
> die kleinste obere Schranke
> 2
>
> Infimum:
> die größte untere Schranke
> 0
Das stimmt alles!
> b)
> Innere Punkte:
> [mm]B^0[/mm] = ]- [mm]\wurzel{3}, \wurzel{3}[[/mm]
> Sehr unsicher!
>
> Randpunkte:
> [mm]\partial[/mm] B = [mm]\{\wurzel{3},- \wurzel{3} \}[/mm]
>
> Isolierte Punkte:
> weiß ich nicht, glaube keiner
>
> Supremum
> [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Infimum
> - [mm]\wurzel{3}[/mm]
Auch hier liegst du überall richtig!
Grüße!
skoopa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
Ach, danke!
SChön zu hören!
Ich hab noch ein Beispiel C, würe das auch noch gerne posten:
C = [mm] \IQ\cap [/mm] (0,1)
[mm] C^0= \IQ\cap [/mm] (0,1)
Randpunkte von C = {0,1}
Isolierte Punkte weiß ich nicht ;(
SUpremum: 1
Infimum:0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach, danke!
> SChön zu hören!
> Ich hab noch ein Beispiel C, würe das auch noch gerne
> posten:
>
> C = [mm]\IQ\cap[/mm] (0,1)
>
>
> [mm]C^0= \IQ\cap[/mm] (0,1)
Das ist falsch ! Beachte in jeder Umgebung eines Punktes liegen irrationale Zahlen
> Randpunkte von C = {0,1}
Das ist Falsch. Es ist [mm] \partial [/mm] C = [mm] \overline{C} [/mm] \ [mm] C^o
[/mm]
> Isolierte Punkte weiß ich nicht ;(
Definition anwenden !
> SUpremum: 1
> Infimum:0
Stimmt
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] C^0= \IQ\cap [/mm] $ (0,1)
> Das ist falsch ! Beachte in jeder Umgebung eines Punktes liegen
..Gibt es vlt keine inneren Punkte?
> Randpunkte von C = {0,1}
>Das ist Falsch. Es ist $ [mm] \partial [/mm] $ C = $ [mm] \overline{C} [/mm] $ \ $ [mm] C^o [/mm] $
Ja das kann ich nicht lösen, wenn ich die inneren Punkte nicht lösen kann
> Isolierte Punkte weiß ich nicht ;(
> Definition anwenden !
wenn [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 so dass [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A = {x}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 03.12.2011 | | Autor: | skoopa |
> > [mm]C^0= \IQ\cap[/mm] (0,1)
> > Das ist falsch ! Beachte in jeder Umgebung eines Punktes
> liegen
> ..Gibt es vlt keine inneren Punkte?
Deine Vermutung ist richtig. Es gibt keine inneren Punkte.
Aber warum? Überleg dir mal anhand der Definition eines inneren Punktes warum kein Punkt in C diese erfüllt.
> > Randpunkte von C = {0,1}
>
> >Das ist Falsch. Es ist [mm]\partial[/mm] C = [mm]\overline{C}[/mm] \ [mm]C^o[/mm]
> Ja das kann ich nicht lösen, wenn ich die inneren Punkte
> nicht lösen kann
Genau. Aber sobald du das Problem mit den inneren Punkten gelöst hast, kriegst du auch das hin.
>
> > Isolierte Punkte weiß ich nicht ;(
> > Definition anwenden !
> wenn [mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0 so dass [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap[/mm]
> A = {x}
Genau. Die Definition stimmt. Jetzt musst du sie nur noch anwenden.
Mach dir einfach mal klar, wie diese Menge C denn "aussieht" und wie sie im Verhältnis zum Intervall [0,1] steht. Dann ist das meiste mit den Definitionen schnell erschlagen.
Beste Grüße!
skoopa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
$ C= [mm] \IQ\cap [/mm] $ (0,1)
Innere Punkte - Leere Menge
> Deine Vermutung ist richtig. Es gibt keine inneren Punkte.
> Aber warum? Überleg dir mal anhand der Definition eines inneren Punktes warum kein Punkt in C diese erfüllt.
Weil die offene Menge (0,1) irrationale Zahlen enthält , diese werden bei [mm] \IQ \cap [/mm] (0,1) rausgepickt -> somit keine Epsilonumgebung von x, die in der ganzen Menge C liegt.
Richtig?
> Es ist $ [mm] \partial [/mm] $ C = $ [mm] \overline{C} [/mm] $ \ $ [mm] C^o [/mm] $
Ranpunkte [0,1]
in dieser Menge liegen rationale Zahlen grösser 0 und irrationale Zahlen. Also sind die jeweils immer ränder.
Falsch argumentiert?
> Isolierte Punkt
(0,1) ?
Da komme ich nicht ganz auf einen grünen zweig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Sa 03.12.2011 | | Autor: | skoopa |
> [mm]C= \IQ\cap[/mm] (0,1)
>
> Innere Punkte - Leere Menge
> Weil die offene Menge (0,1) irrationale Zahlen enthält ,
> diese werden bei [mm]\IQ \cap[/mm] (0,1) rausgepickt -> somit keine
> Epsilonumgebung von x, die in der ganzen Menge C liegt.
> Richtig?
Ja genau.
Man sagt: Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen. Das bedeutet gerade, dass in jeder [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung um eine rationale Zahl immer eine nicht-rationale Zahl liegt.
> > Es ist [mm]\partial[/mm] C = [mm]\overline{C}[/mm] \ [mm]C^o[/mm]
> Ranpunkte [0,1]
> in dieser Menge liegen rationale Zahlen grösser 0 und
> irrationale Zahlen. Also sind die jeweils immer ränder.
> Falsch argumentiert?
Die Antwort stimmt. Nur aus der Begründung werde ich grad nicht ganz schlau.
Das richtige Argument ist ähnlich wie das oben.
Da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt sind in jeder [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung um eine rationale Zahl auch Elemente aus dem Komplement von C, also irrationale Zahlen, also ist jede rationale Zahl ein Randpunkt. Das gleiche Argument gilt dann für die irrationalen Zahlen. Und dass 0 und 1 auch zum Rand gehören ist dann auch klar.
Kürzer kannst du auch so argumentieren, dass [mm] C^0 [/mm] leer ist (wie oben gezeigt) und der Abschluss von C das ganze Intervall [0,1] ist, da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
> > Isolierte Punkt
> (0,1) ?
> Da komme ich nicht ganz auf einen grünen zweig!
Du musst nur die Definition anwenden, die du vorhin geschrieben hast.
Also ist die Frage:
Existiert ein Element x aus C, sodass du eine [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung um dieses Element legen kannst in der nur dieses x enthalten ist?
Tipp: Du kannst hier wieder mit der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] argumentieren.
Ich hoffe damit klappts 
skoopa
|
|
|
|
