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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:25 Mi 04.11.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | | Zu zeigen: für [mm] $1\leq [/mm] p [mm] \leq \infty$, $l_p(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I abzählbar ist und [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I endlich ist. |
Hallo,
der [mm] $l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] $l_p(I,K)=\{f:I\to K: ||f||_p<\infty\}$
[/mm]
[mm] $l_\infty(I,K)=\{f:I\to K:||f||_\infty = sup_{x\in I } |f(x)|<\infty\}$ [/mm]
wobei [mm] $K\in \{\IR,\IC\}$
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir folgendes Lemma, was ich wohl nutzen muss, aber nicht weis wie:
Lemma: ein normierter Raum $ [mm] (X,||\cdot [/mm] ||)$ ist seperabel, genau dann wenn es eine abzählbare Menge S von X gibt, so dass [mm] $X=\overline{span(S)}$ [/mm] gilt.
In unserem Fall ist [mm] $X=l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$. [/mm] Aus der Vorlesung weis ich, dass das ein normierter Raum ist und ein Banach Raum.
Ich habe leider keinen Ansatz ein geeignetes S zu finden, oder anderweitig auf die Lösung zu kommen, sodass ich leider keinen Ansatz von mir geben kann.
Für Tipps wäre ich dankbar.
Hias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Do 05.11.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
vielleicht kennst du den ![[]](/images/popup.gif) Schwartz-Raum [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen $f$ mit [mm] $\sup_{x\in\IR^n}\left|x^\alpha D^\beta f(x)\right|<\infty$ $\forall \alpha,\beta\in\IN_0^n$. [/mm]
[mm] $\mathcal{S}$ [/mm] liegt dicht in [mm] $L_p$ [/mm] und ist separabel. Mit [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] besitzt nun auch [mm] $L_p$ [/mm] eine abzählbare Basis.
Einen weiteren Beweis findest du in Werners Funktionalanalysis, S. 33.
LG
Ladon
PS: Ich schreibe lieber [mm] $L_p$ [/mm] statt [mm] $l_p$. [/mm] Letzteres beschreibt für mich einen Folgenraum!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 06.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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