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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Di 06.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Man bestinne [mm] \partial \IQ [/mm] und [mm] \partial \IZ [/mm] als teilmenge von [mm] \IR [/mm] |
Lösungen:
a) [mm] \partial \IQ [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
b) [mm] \partial \IZ [/mm] = [mm] \IZ
[/mm]
a) Ist x rational so liegt in jeder Umgebung von x eine irrationale Zahl. Wäre dann nicht der Rand [mm] \IQ [/mm] ?
Wie argumetiert ihr da?
b) [mm] \forall U_{\varepsilon} [/mm] für x [mm] \in \IZ [/mm] gilt, sie beinhaltet ein Element aus [mm] \IZ [/mm] (das x) und [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \IZ [/mm] -> folgt aus archimedischen Prinzip.
Bei den Begründungen bin ich mir unsicher, und für a weiß ich die begründung nicht
Danke
Liebe Grüße
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Hallo quasimo,
> Man bestinne [mm]\partial \IQ[/mm] und [mm]\partial \IZ[/mm] als teilmenge
> von [mm]\IR[/mm]
> Lösungen:
> a) [mm]\partial \IQ[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> b) [mm]\partial \IZ[/mm] = [mm]\IZ[/mm]
>
> a) Ist x rational so liegt in jeder Umgebung von x eine
> irrationale Zahl. Wäre dann nicht der Rand [mm]\IQ[/mm] ?
> Wie argumetiert ihr da?
Das folgt aus der Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen:
Sei [mm] x\in\IR. [/mm] Dann ist für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] die Menge [mm] U_{\varepsilon}(x)\cap\IQ [/mm] nichtleer.
>
> b) [mm]\forall U_{\varepsilon}[/mm] für x [mm]\in \IZ[/mm] gilt, sie
> beinhaltet ein Element aus [mm]\IZ[/mm] (das x) und [mm]\IR[/mm] ohne [mm]\IZ[/mm] ->
> folgt aus archimedischen Prinzip.
Mir ist nicht klar, was du meinst.
Sei [mm] x\in\IR\backslash\IZ. [/mm] Sei [mm] d=\min\{|x-z|:z\in\IZ\}>0 [/mm] der Abstand von x zu [mm] \IZ. [/mm] Dann ist offenbar
[mm] U_{d/2}(x)\cap\IZ=\emptyset, [/mm]
also [mm] x\notin\partial\IZ.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mi 07.12.2011 | | Autor: | quasimo |
genial danke
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