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| Aufgabe | Sei (X,T) X Menge, T Topologie auf X ein topologischer Vektorraum.
Man nennt eine Menge [mm] B \subseteq X [/mm] beschränkt, wenn es für alle W aus einer Nullumgebungsbasis ein [mm] \lambda_{w}>0 [/mm] gibt, sodass [mm] B \subseteq \lambda_{w} W [/mm].
Zu zeigen:
a) (bereits gelöst) Diese Definition ist nicht von der gewählten Nullumgebungsbasis abhängig.
b) Jede Kompakte Menge ist beschränkt. |
Also ich bin denke ich schon recht weit aber mir fehlt noch ein klein bisschen Argumentation.
Mein "Rechengang":
Sei K eine kompakte Teilmenge von X, W ein beliebiges Element der Nullumgebungsbasis, dann gilt:
[mm] K \subseteq \bigcup_{x \in K} (x+W) [/mm]
und aus der Kompaktheit von k folgt, dass endlich viele ausreichen, d.h.:
[mm] K \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}(x_{i}+W) [/mm]
wobei die [mm] x_i [/mm] natürlich aus K sind.
Was ich noch verwenden wollte (wir haben es auch bewiesen.)
Jede Nullumgebung ist absorbierend, d.h.
[mm] \forall x \in X \exists \lambda_{x} > 0 : \lambda_{x}x \in W [/mm]
Und hier mein Plan:
Kann ich die Umgebung W mit einem geeigneten Lambda derartig "aufblasen", dass alle meine [mm] x_i [/mm] + W enthalten sind, dann bin ich fertig.
Nun gibt es für jedes solche [mm] x_i [/mm] ein Lambda sodass [mm] x_i [/mm] in W enthalten ist. Aber da [mm] \exists \lambda > 0 : x_{i}+W \subseteq \lambda W [/mm] entweder gar nicht gilt oder ich zu blöd oder sonstirgedwas bin es zu zeigen bin ich an einem Ende angelangt.
(Für dieses [mm] \lambda [/mm] wäre das Maximum der [mm] \lambda_{i} [/mm] geplant gewesen, das ja existiert, da ich nur endlich viele [mm] \lambda_{i} [/mm] habe.)
Bitte erbarmt euch meiner (wahrsch. auf einer riesigen Leitung stehenden) Seele und helft mir! =)
Mfg
Michael
Ach ja, ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Das ist gar nicht mal leicht.
0. Es gibt eine Nullumgebungsbasis [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] mit Elementen U die
absorbierend, kreisförmig sind und die folgende Eigenschaft haben:
Zu [mm] $U\in\mathcal{U}$ [/mm] gibt es stets [mm] $V\in \mathcal{U}$ [/mm] mit [mm] $V+V\subset [/mm] U$.
1. Jede Punktmenge [mm] \{x\} [/mm] ist beschränkt. Denn zu jedem [mm] $U\in \mathcal{U}$
[/mm]
folgt [mm] $x\in \lambda [/mm] U $ für ein [mm] $\lambda [/mm] > 0$ weil $U$ absorbierend und kreisförmig ist.
2. Eine endliche Punktmenge ist beschränkt. (allg. mit $A, B$ ist auch
$A+B$ beschränkt)
3. Eine kompakte Menge ist beschränkt.
Sei U eine beliebige Nullumgebung aus [mm] $\mathcal{U}$. [/mm]
Nun gibt es wegen (0) stets $V [mm] \in \mathcal{U}$ [/mm] mit [mm] $V+V\subset [/mm] U$.
Also (wie du selbst fands) $K [mm] \subset \bigcup_i x_i [/mm] + V = A +V $
mit [mm] $A:=\{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm] endlich! Nach (2) ist [mm] $A\subset \lambda_0 [/mm] V$
mit einem [mm] $\lambda_0>0$, [/mm] also
$$ K [mm] \subset \lambda_0 [/mm] V+ V [mm] \subset (\lambda_0+1) (V+V)\subset (\lambda_0+1) [/mm] U $$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 22.04.2006 | | Autor: | vanguard2k |
Echt super! Jetzt hab ichs auch begriffen glaub ich =). Danke für die Bemühungen.
Btw: Ich bin erleichtert dass nicht nur ich es schwer gefunden habe =)
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