Toeplitz Matrix pos. def. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Di 02.12.2014 | | Autor: | Baii |
| Aufgabe | Für welche [mm] {a}\in\mathbb [/mm] R ist die Matrix A= [mm] \pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\
a & 1 & a & a & a & ... & a \\
a & a & 1 & a & a & ... & a \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
a & ... & a & a & a & 1 & a \\
a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n}
[/mm]
positiv definit? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine Dreiecksmatrix herauskommt.
Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?
Grüße
Baii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für welche [mm]{a}\in\mathbb[/mm] R ist die Matrix A= [mm]\pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\
a & 1 & a & a & a & ... & a \\
a & a & 1 & a & a & ... & a \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
a & ... & a & a & a & 1 & a \\
a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n}[/mm]
>
> positiv definit?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur
> Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen
> Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine
> Dreiecksmatrix herauskommt.
>
> Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine
> "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch
> eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
>
> Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere
> Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?
Mit obiger Formel
[mm] \lambda_j [/mm] = [mm] c_0+c_{n-1} w_j [/mm] + [mm] c_{n-2}w_j^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_{1} w_j^{n-1}, \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.
haben wir, da [mm] c_0=1 [/mm] und [mm] c_j=a [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 1 ist:
[mm] \lambda_j=1+a(w_j+w_j^2+...+w_j^{n-1}) \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.
Ist j=0 so ist [mm] \lambda_0=1+(n-1)a
[/mm]
Für j [mm] \ge [/mm] 1 ist (nachrechnen !, endliche geometrische Reihe)
[mm] \lambda_j=1-a
[/mm]
FRED
>
> Grüße
> Baii
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Do 04.12.2014 | | Autor: | Baii |
Danke für die Hilfe!
Ich habe jetzt für [mm] j\geq1:
[/mm]
[mm] \lambda_j=1+a(\omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1})
[/mm]
Mit [mm] \omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\omega_j^k=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_j^k-1=\frac{\omega_j^n-1}{\omega_j-1}-1=-1,
[/mm]
denn [mm] \omega_j=exp(2\pi [/mm] ij)=1, da das Argument immer ein Vielfaches von [mm] 2\pi*i [/mm] ist.
Insgesamt habe ich dann [mm] \lambda_j=1-a [/mm] für [mm] j\geq [/mm] 1.
Das müsste so passen, oder?
Vielen Dank
Baii
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