Tischtennisturnier < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 25.11.2008 | | Autor: | amy87 |
| Aufgabe | 2 Tischtennisspieler A und B bestreiten ein Turnier und A gewinnt
jedes einzelne Spiel mit Wahrscheinlichkeit p = 0.6. Derjenige Spieler
gewinnt das Turnier, der als Erster 21 Einzelspiele für sich entschieden
hat.
(a) Wie viele Spiele muss das Turnier mindestens bis zu einer Entscheidung
dauern, und wie viele Spiele sind höchstens erforderlich?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Turnier nach genau
n Spielen?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A das Turnier gewinnt? |
Ich komme leider bei dem Beispiel gar nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand Tipps geben?
Mein Ansatz zu
a) ist nicht sehr wahrscheinlichkeitstheoretisch, aber ich glaube richtig:
Mindestens =21 (weil könnte ja 21 spiele hintereinander gewinnen) und
höchstens =35 (weil 21/0.6 )
b) Geht das mit Binomialverteilung (also P(X=n)=(35 über [mm] n)*0,6^n*0.4^{35-n} [/mm] )oder bedingter Wahrscheinlichkeit? und Wie?
c)Was ist der Unterschied zu b)?
Ich hoffe jemand kann da Licht ins Dunkle bringen...
BIn nämlich schon sehr verzweifelt!
DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 25.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin amy87,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Mein Ansatz zu
> a) ist nicht sehr wahrscheinlichkeitstheoretisch, aber ich
> glaube richtig:
> Mindestens =21 (weil könnte ja 21 spiele hintereinander
> gewinnen) und
> höchstens =35 (weil 21/0.6 )
Das sehe ich anders: Du hast Recht: minimal gibt es 21 Spiele. Aber
maximal gibt es 41 Spiele. Es kann naemlich sein, dass sowohl A als auch
B 20 Spiele gewinnt, obwohl B nur eine Wsk von 0.4 hat, zu gewinnen.
>
> b) Geht das mit Binomialverteilung (also P(X=n)=(35 über
> [mm]n)*0,6^n*0.4^{35-n}[/mm] )oder bedingter Wahrscheinlichkeit? und
> Wie?
Es ist also zu klaeren, wie wahrscheinlich es ist, dass A das Spiel nach
[mm] n=21,\dots,41 [/mm] Spielen gewinnt. Nennen wir die Ereignisse [mm] A_n.
[/mm]
[mm] P(A_{21})=0.6^{21}
[/mm]
[mm] P(A_{22})=\binom{21}{1}0.6^{21}\times0.4
[/mm]
[mm] P(A_{23})=\binom{22}{2}0.6^{21}\times0.4^2
[/mm]
...
[mm] P(A_{21+k})= \binom{20+k}{k}0.6^{21}\times0.4^k
[/mm]
[mm] k=0,1,2,\dots,20
[/mm]
> c)Was ist der Unterschied zu b)?
A gewinnt nach 21, 22, 23,...,41 Spielen.
>
> Ich hoffe jemand kann da Licht ins Dunkle bringen...
> BIn nämlich schon sehr verzweifelt!
Na,na 
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 25.11.2008 | | Autor: | amy87 |
Danke für die rasche Antwort luis!
ok a) ist mir jetzt klar
zu b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Turnier nach genau
n Spielen?
> [mm]P(A_{21})=0.6^{21}[/mm]
> [mm]P(A_{22})=\binom{21}{1}0.6^{21}\times0.4[/mm]
> [mm]P(A_{23})=\binom{22}{2}0.6^{21}\times0.4^2[/mm]
> ...
> [mm]P(A_{21+k})= \binom{20+k}{k}0.6^{21}\times0.4^k[/mm]
>
> [mm]k=0,1,2,\dots,20[/mm]
Also ist es eine Binomialverteilung? Warum bleibt für jede Wahrscheinlichkeit "0.6 hoch n" gleich, aber "0.4 hoch ..." ändert sich?
und zu c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A das Turnier gewinnt?
Versteh ich gar nicht...
Ist das die Summe?Das kann doch nicht sein...oder..?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mi 26.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> zu b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Turnier
> nach genau
> n Spielen?
>
> > [mm]P(A_{21})=0.6^{21}[/mm]
> > [mm]P(A_{22})=\binom{21}{1}0.6^{21}\times0.4[/mm]
> > [mm]P(A_{23})=\binom{22}{2}0.6^{21}\times0.4^2[/mm]
> > ...
> > [mm]P(A_{21+k})= \binom{20+k}{k}0.6^{21}\times0.4^k[/mm]
> >
> > [mm]k=0,1,2,\dots,20[/mm]
>
> Also ist es eine Binomialverteilung?
Nein, sieht nur aehnlich aus.
> Warum bleibt für jede
> Wahrscheinlichkeit "0.6 hoch n" gleich, aber "0.4 hoch ..."
> ändert sich?
Damit A das Turnier gewinnt, muss er 21 Spiele gewinnen. Wenn das nach
$n=21+k$ Spielen passiert, gewinnt A das n-te Spiel, B gewinnt k und A
gewinnt 20 Spiele zuvor. Die Wsk fuer jede dieser Moeglichkeiten ist
[mm] $0.6\times 0.4^{k}\times 0.6^{20}= 0.4^{k}\times 0.6^{21}$. [/mm] Jetzt muss nur noch ausgezaehlt werden,
wieviele Moeglichkeiten es gibt. Das gibt der Binomialkoeffizient an.
>
> und zu c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A das
> Turnier gewinnt?
> Versteh ich gar nicht...
> Ist das die Summe?Das kann doch nicht sein...oder..?
>
Warum denn nicht?
vg Luis
>
|
|
|
|
