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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 22.02.2009 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{4}*(n+1)^2 [/mm] |
Hi,
ich habe eine eher grundsätzliche Frage zur völlständigen Induktion, und dazu habe ich jetzt einfach obiges Beispiel rausgesucht...
Ich würde jetzt hier im Induktionsschritt immer versuchen das
[mm] \bruch{n^2}{4}*(n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
auszuklammern, um es dann quasi hinterher wieder in "richtiger" Form einzuklammern, allerdings ist das relativ lästig und umständlich.
Gibt es dar ein paar Tricks mit denen man da schneller zum Ziel kommt?
danke schonmal im voraus für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 22.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo bonanza!
Ich verstehe Dein Problem nicht ganz ...
> [mm]\bruch{n^2}{4}*(n+1)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
Wenn Du hier nun [mm] $(n+1)^2$ [/mm] ausklammerst, bist Du *ruckzuck* am Ziel. Das geht m.E. nicht schneller und eleganter.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 22.02.2009 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | | [mm] \produkt_{i=2}^{n} \bruch{i^3-1}{i^3+1}=\bruch{2}{3}*\bruch{n^2+n+1}{n*(n+1)} [/mm] für n > 1 |
hmmm okay ;) jetzt wo dus sagst ;)
Allerdings bin ich schon auf manche aufgaben gestoßen da war es recht kompliziert...
meiner 1. schritt war jetzt hier:
[mm] \bruch{2}{3}*\bruch{n^2+n+1}{n*(n+1)}*\bruch{(n+1)^3-1}{n+1)^3+1}
[/mm]
Allerdings wäre mir auch jetzt hier nichts besseres als alles ausklammern eingefallen...
wäre nett wenn du mir hier ein paar Tipps geben könntest.
danke
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Hallo bonanza,
da wirst Du um Schreibarbeit nicht ganz herumkommen.
Ich finde ja folgenden Rechenweg am einfachsten:
Du formst erst einmal Deine Produktformel so um:
[mm] \bruch{2}{3}*\bruch{n^2+n+1}{n(n+1)}=\bruch{2}{3}*\left(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)
[/mm]
Dann wäre eine andere Form des Induktionsschritts, wenn Du folgendes zeigst:
[mm] \bruch{\bruch{2}{3}*\left(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right)}{\bruch{2}{3}*\left(1+\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}\right)}=\bruch{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}
[/mm]
Das geht relativ schnell, wenn Du bedenkst, dass n=(n+1)-1 und (n+2)=(n+1)+1 ist, und damit [mm] n(n+2)=(n+1)^2-1
[/mm]
Grüße,
reverend
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