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| Aufgabe | Herr A. nimmt einen Kredit über 120.000€ auf, bei dem der zu zahlende Zinssatz für die gesamte Laufzeit auf 6,5% festgeschrieben ist. Es wurde eine Tilgung in Höhe von 3% zzgl. der ersparten Zinsen (jährlich, nachschüssig), aber eine äquivalente monatliche (nachschüssige) Zahlungsweise vereinbart.
(a) Wie hoch ist die monatliche Belastung für Herrn A.?
(b) Wie viele Monate dauert die Tilgung, wenn mit einer verminderten Abschlussannuität gerechnet wird?
(c) Herr A. wird nach sieben Jahren für ein Jahr Arbeitslos, so dass er die im Kreditvertrag für diesen Fall vereinbarte Stundung in Anspruch nehmen muss, d.h. er zahlt im achten Jahr weder Zinsen noch Tilgung. Da der Job, den er danach findet, weniger gut bezahlt wird, möchte er (vom Beginn des 9. Jahres an) eine geringere monatliche Zahlung vereinbaren. Welche monatliche Zahlung muss er vereinbaren, wenn er den Kredit nach insgesamt 25 Jahren getilgt haben möchte? |
Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur im September vor und hake derzeit etwas bei der Finanzmathematik.
Bei der Teilaufgabe (a) bin ich zunächst davon ausgegangen, dass ich lediglich die 6,5% und die 3% addieren muss und am Ende durch 12 teile.
Sprich:
Am=(120000*(6,5%+3%))/12 = 950
Allerdings habe ich für die Aufgabe eine Lösung, die mit 922,82€ angegeben ist.
Wo liegt hierbei mein Denkfehler?
Kann ich die anderen Teilaufgaben auch ohne die (a) lösen, oder sind diese abhängig von der Lösung in a?
Vielen Dank im Voraus.
Timothy
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Di 10.07.2012 | | Autor: | chrisno |
Zu a):
Wenn er monatlich tilgt, dann reduziert sich die Kreditsumme schon während des Jahres. Also werden die Zinszahlungen auch geringer. Daher kommt bei Deinem Ansatz zu viel heraus.
Zu b) kann ich nichts sagen, weil ich den Begriff "verminderte Abschlussanuität" nicht kenne.
Zu c):
Die ersten sieben Jahre kannst Du einfach mit der jährlichen Zinszahlung und Tilgung rechnen, für die Jahre ab dem neunten musst Du wieder beachten, dass monatlich bezahlt wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
zur Ergänzung und weiteren Erläuterung:
nach meiner Erfahrung rechnen Banken in der Weise, wie Du es angenommen hast. Das ist auch zulässig, da sie den effektiven bzw. den anfänglichen effektiven Jahreszins nach der auf einer EU-Richtlinie beruhenden PAngV angeben müssen, die diese Berechnungsweise berücksichtigt. In der Aufgabe a) heißt es jedoch, daß die monatlichen Zahlungen den Jahreszahlungen "äquivalent" sein sollen. Das bedeutet, daß unterjährige Zinseffekte nicht berücksichtigt werden und die Beziehung zwischen dem Monatszins (m), auch als konformer unterjähriger Zins bezeichnet, und dem Jahreszins (i) wie folgt lautet:
$ [mm] \left(1+m \right)^{12}=1+i [/mm] $
$ [mm] m=\left(1+i\right)^{\bruch{1}{12}}-1 [/mm] $
Im vorliegenden Fall ist m=0,005261694 als Dezimalzahl und der Zinsanteil der ersten (monatlichen) Annuität 631,40.
Die Tilgung im ersten Jahr soll 3% der Anfangskreditsumme betragen, also 3600,00.
Da sich bei einem Annuitätenkredit mit jeder Zahlung die Zinsen in der Größenordnung verringen wie sich die Tilgung erhöht, beträgt die Tilgung im ersten Monat [mm] T_1, [/mm] in den folgenden Monaten mit q=1+m
$ [mm] T_2=T_1 \cdot [/mm] q$ [mm] $T_3=T_1 \cdot q^2$ $T_4=T_1 \cdot q^3 [/mm] $
usw. bis $ [mm] T_{12}=T_1 \cdot q^{11}$
[/mm]
Die Summe der Tilgungen ist eine geometrische Reihe mit
$ [mm] T_{Ges}=T_1 \cdot \bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] $ hier konkret für ein Jahr
$ [mm] 3600=T_1 \cdot \bruch{1,005261694^{12}-1}{1,005261694-1} [/mm] $
[mm] T_1 [/mm] ist dann 291,42 und die monatliche Rate 631,40+291,42=922,82.
zu b) ist auch mir der Begriff der verminderten Abschlußannuität nicht klar; falls gemeint ist, die Tilgung liegt unter den anfangs genannten 3%, kann man mit dem niedrigeren Zinssatz die Annuität wie oben berechnen und auch die Laufzeit des Darlehens.
Bei c) berechnet man erst mit der monatlichen Rate von 922,82 das Restkapital nach sieben Jahren und addiert die im achten Jahr anfallenden Zinsen, auf die die Bank sicher nicht verzichtet, hinzu. Die Summe ist dann das noch bestehende Darlehen, für das die monatliche Annuität für die Restlaufzeit von 17 Jahren zu berechnen ist.
Gruß
Staffan
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Hallo Staffan,
vielen Dank für die Hilfe. Mit Aufgabe a) komme ich nun zurecht.
Aufgabe b verminderte Anschlussannuität bedeutet lediglich, dass die letzte Rate nicht genau so groß ist wie die vorherigen. Diese kann dann entweder einzeln gezahlt werden (dann ist es die verminderte Anschlussanuität) oder mit der Vorletzten zusammen gezahlt werden, dann ist es jedoch eine erhöhte Anschlussanuität.
Die Aufgabe konnte ich mit Hilfe folgender Formel nun auch einfach berechnen:
[mm]n= \bruch {ln ( \bruch {A}{T1})}{ln (q)}
Dabei \ist\ A=922,82€;\ T1=291,42€ \ und \ q= 1,005261694. \ Loesung=291,644 \ d.h.\ 220\ Monate.[/mm]
Allerdings komme ich nun bei der dritten Aufgabe nicht weiter. Wie genau berechne ich die Annuität?
Ich habe es mit Hilfe folgender Formel versucht (nach k umstellen), komme jedoch nicht weiter:
[mm]K_k = K_0 *q^k -A* \bruch {q^k-1}{q-1}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
danke für die Erläuterung zu b).
Die Formel für c) ist schon die richtige. Gesucht wird A. Der Kredit soll in insgesamt 25 Jahren zurückgezahlt sein. Acht Jahre sind verstrichen; k ist die Laufzeit von (noch) 17 Jahren bzw. 204 Monaten; q ist ebenfalls bekannt. [mm] K_0 [/mm] ist das Restkapital nach sieben Jahren Tilgung bzw. 84 monatlichen Tilgungsanteilen zuzüglich der Zinsen, die im achten Jahr anfallen. (Falls die Bank darauf verzichtet, fallen diese weg). Und [mm] K_k [/mm] ist Null, da das Darlehen dann ganz zurückgezahlt ist.
Gruß
Staffan
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