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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:02 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Um mich mal wieder zu melden, stell ich einfach mal die folgenden kleinen Aufgaben hier rein, weil ich sie auch einfach ganz nett finde.
1) Gegeben sei ein handelsüblicher, dreidimensionaler Elefant der Höhe 3 m, Breite 2 m und Länge 4 m.
Gibt es ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] so daß man den Elefanten (unbeschadet) im [mm] $\IR^n$ [/mm] unterbringen kann
a) in einer n-dimensionalen euklidischen Kugel vom Radius 1 cm?
b) in einem n-dimensionalen Würfel der Kantenlänge 1 cm?
2) Man finde, sofern möglich, das kleinste $n_$, mit dem dies möglich ist.
Viel Spaß mit der Aufgabe,
Liebe Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Sa 18.06.2005 | | Autor: | leduart |
TaTÜÜÜÜÜ
Kann man mich bei euch im [mm] R^{3} [/mm] noch hören? ich räkel mich grad Wohlig in meiner [mm] R^{6} [/mm] Box. Endlich kann ich mich überall kratzen. Nur zum rumlaufen hättest du mir was mehr Platz lassen sollen! Wie wärs mit 2cm? Bitte!
Bimbo der Erste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 19.06.2005 | | Autor: | Christian |
Falls das eine ernstgemeinte Antwort sein sollte :D, so ist diese leider nicht ganz korrekt.
Diese Antwort sollte man aber auch zum Zeichen nehmen, daß die Kommunikation mit höherdimensionalen Räumen offensichtlich kein Problem darstellt!
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 17.07.2005 | | Autor: | pjordan |
Also zur a.
Könnte man den Elefanten unterbringen, d.h. würde es eine Abbildung i geben mit [mm] $\underbrace{i:[0,200]\times [0,300]\times [0,400]}_{=:E}$, [/mm] so dass $ i(E) [mm] \subset U_1(0) [/mm] $ und $ [mm] ||i(x)-i(y)||_{2, \mathbb R^n} [/mm] = || [mm] x-y||_{2,\mathbb R^3} [/mm] $ (1) für alle x gilt; dann würde gelten [mm] $||i((0,0,0))-i(0,0,400)||_{2,\mathbb R^n} [/mm] =400$ Und das geht halt nicht. Also a. geht nicht.
zur b. Man setze $n:= [mm] 200^2+300^2+400^2$ [/mm] und definiere sich [mm] $\xi [/mm] := (1,....,1,0,....,0) [mm] \in \mathbb R^n$, $\eta:= (0,....,0,1,....,1,0,....,0)\in \mathbb R^n$ [/mm] und $ [mm] \nu:=(0,....,0,1,....,1) \in \mathbb R^n$. [/mm] Die [mm] $||||_\infty$ [/mm] norm der drei Variablen ist logischerweise jeweils gleich 1 und sie stehen paarweise senkrecht aufeinander. Wir definieren uns ein i als [mm] $i((x_1,x_2,x_3)):= x_1*\frac{\xi}{||\xi||_2} +x_2* \frac{\eta}{||\eta||_2}+x_3*\frac{\nu}{||\nu||_2}$ [/mm] ; im folgende werden Ausdrücke wie [mm] $\frac{\xi}{||\xi||}$ [/mm] z.B. als [mm] $\xi'$ [/mm] abgekürzt.
Dann ergibt sich nämlich [mm] $||I(x_1,x_2,x_3$||_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\langle x_1\xi'+x_2\eta'...\rangle} [/mm] = [mm] \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=||x||_2 [/mm] $ , also gilt Gleichung (1) und [mm] $i(E)\subset [0,1]\xi +[0,1]\eta +[0,1]\nu \subset U_{1,||||\infty}(0)$ [/mm] Das geht also.
Kleineres n geht wohl nicht, hab's jetzt aber auch nicht weiter beachtet, da die Frage ja für niemanden existentiell wichtig ist, aber bin für Vorschläge offen....
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So dachte ich mir das!
Gruß,
Christian
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