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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 21.02.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | In einem Betrieb werden auf zwei Maschinen zwei Produkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] hergestellt. Dabei braucht die 1. Maschine 15 Minuten, um ein Produkt [mm] $P_1$ [/mm] herzustellen und sie braucht 30 Minuten, um ein Produkt [mm] $P_2$ [/mm] herzustellen. Insgesamt darf die 1. Maschine nur 450 Minuten pro Tag laufen. Die 2. Maschine darf 480 Minuten pro Tag laufen und sie benötigt 25 Minuten zur Herstellung eines Produkts [mm] $P_1$ [/mm] sowie 20 Minuten zur Herstellung eines Produkts [mm] $P_2$.
[/mm]
Die Firma kann jedes Produkt [mm] $P_1$ [/mm] zum Preis von 40 GE und jedes Produkt [mm] $P_2$ [/mm] zum Preis von 60 GE verkaufen. Daraus resultiert die Frage, wie viele Produkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] die Firma jeden Tag herstellen sollte, um ihren Erlös zu maximieren. |
Hallo!
Mit der Lösung der Aufgabe (Simplex-Verfahren) hatte ich eigentlich keine Probleme, nur das Ergebnis wundert mich.
Also, ich habe gesagt, x ist die Anzahl der Produkte [mm] $P_1$ [/mm] und y die Anzahl der Produkte [mm] $P_2$, [/mm] die hergestellt werden. Dann gelten mit den Schlupf-Variablen [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] folgende Gleichungen:
$15x + 30y + [mm] u_1=450$
[/mm]
[mm] $25x+20y+u_2=480$
[/mm]
$E=40x+60y$
Dabei ist E der Erlös aus dem Verkauf, der maximiert werden soll.
Mit dem Simplex-Verfahren habe ich das Ergebnis $x=12$ und $y=9$ erhalten. Dann folgt $E=1020$.
Was mich nun wundert sind folgende 2 Dinge:
1.) Ich muss mit JEDER Maschine (d.h. nicht insgesamt) 12 [mm] $P_1$ [/mm] und 9 [mm] $P_2$ [/mm] herstellen. Dann ist der Erlös aber auch doppelt so groß.
Eigentlich ging ich davon aus, dass ich mit dem Verfahren die Gesamtherstellmenge erhalte und den Gesamterlös und ich nicht alles mit der Anzahl der Maschinen multiplizieren muss.
2.) Anscheindend ist $x=12$ und $y=9$ nur dann die optimale Lösung, wenn man davon ausgeht, dass ich von beiden Produkten gleich große Stückzahlen auf beiden Maschinen herstelle.
Wenn man sich aber die Zahlen aus der Aufgabe ansieht, so wäre es doch viel klüger, mit Maschine 1 nur [mm] $P_1$ [/mm] herzustellen, denn für [mm] $P_2$ [/mm] braucht man doppelt so viel Zeit, bekommt aber nur 50% mehr Geld. Entsprechend sollte man mit Maschine 2 nur [mm] $P_2$ [/mm] herstellen, da weniger Zeitaufwand und größerer Erlös. Dann würde man unter Beachtung der Maschinenlaufzeiten auf der 1. Maschine 30 [mm] $P_1$ [/mm] herstellen und auf der 2. Maschine 24 [mm] $P_2$. [/mm] Dann wäre der Erlös insgesamt 2640 und damit deutlich höher als das mit Simplex berechnete "Optimum".
Was sagt Ihr dazu? Vielen Dank für Eure Hilfe!
(Ich habe diese Frage nirgenwo sonst gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Do 21.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo MasterEd,
es wundert mich nicht, dass in deiner Lösung angenommen ist, dass jede Maschine gleich viel von einem produkt produziert. Denn das hast du implizit als Annahme in deinen Gleichungen drin:
[mm] $15x+30y+u_1=450$
[/mm]
[mm] $25x+20y+u_2=480$
[/mm]
Jeder dieser Gleichung spiegelt ja die Kapazität und den Produktionsdauer einer Maschine wieder. Bei beiden Gleichungen verwendest du aber die gleiche Variable $x$ und $y$ für die Menge, die von einem produkt hergestellt werden soll.
Wenn du willst, dass beide Maschinen unabhängig von einander auch verschiedene Mengen von einem Produkt herstellen können, musst du hier schon deine Bedingungen ändern, etwa so:
[mm] $15x_1+30y_1+u_1=450$
[/mm]
[mm] $25x_2+20y_2+u_2=480$
[/mm]
Die Zielfunktion lautet dann natürlich auch anders, nämlich so:
$E = [mm] 40x_1+40x_2+60y_1+60y_2$
[/mm]
Es kann sein, dass du nun noch ein paar Bedingungen hinzufügen musst, damit du überhaupt eine (endlihe) Lösung erhälst. Ich denke, du solltest folgende Bedingungen dazu packen:
[mm] $x_1>=0$
[/mm]
[mm] $x_2>=0$
[/mm]
[mm] $y_1>=0$
[/mm]
[mm] $y_2>=0$
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir weiter. Ich habe leider nicht mehr auf dem Schirm, wie genau das Simplex-Verfahren funktioniert, ist schon ein paar Jahre her. Müsste ich mal wieder nachschauen. Aber wenn ich mich nicht irre, müsstest du damit weiter kommen, oder?
Die Interpretation deiner Gleichungen jedenfalls kann ich auch noch ohne nachzuschauen, wie das Simplex-Verfahren genau läuft. 
Lieben Gruß und viel Erfolg,
Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 21.02.2008 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. Du hast Recht: Wenn man 4 Variablen (2 pro Maschine) betrachtet statt nur 2, dann liefert Simplex die richtige Lösung. Und die zwei Fragen von mir entfallen automatisch, denn die Gewinngleichung hängt von 4 Variablen ab, liefert also sofort den Gesamterlös und es wird auch klar, wie viel man auf jeder der Maschinen herstellen muss.
Vielen Dank!
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