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| Aufgabe | Bestimmten Sie den Wert a e R so, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a})=4 [/mm] |
Ich habe bei dieser Aufgabe noch nicht einmal eine Ahnung, um was für ein Thema es sich hier handelt...
Kann mir jemand grob sagen, wie ich so eine Aufgabe zu lösen habe?
So ganz spontan hätte ich L'Hopital im Kopf, aber das allein bringt mich noch nicht auf die richtige Spur (Falls denn der werte L'Hoptial überhaupt Teil des richtigen Weges ist...).
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Hallo,
> Bestimmten Sie den Wert a e R so, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a})=4[/mm]
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe noch nicht einmal eine Ahnung,
> um was für ein Thema es sich hier handelt...
Grenzwertberechnung würd ich sagen.
> Kann mir jemand grob sagen, wie ich so eine Aufgabe zu
> lösen habe?
Grenzwertsätze verwenden um den grenzwert der linken Seite zu berechnen.
> So ganz spontan hätte ich L'Hopital im Kopf, aber das
> allein bringt mich noch nicht auf die richtige Spur (Falls
> denn der werte L'Hoptial überhaupt Teil des richtigen
> Weges ist...).
Ich wüßte nicht wie man hier sinnvoll mit L'Hopital arbeiten kann. (geschweige denn sollte)
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Alles klar, danke für den Hinweis, ein kleines, sehr kleines Lichtlein ist mir aufgegangen.
Also habe ich mich mal rangewagt, aber komme zu einem unsinnigen Ergebnis. Mein Lösungsweg:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a})=4
[/mm]
n ausgeklammert:
NR: [mm] \bruch{1}{(n+1)/n}
[/mm]
n/n kürzt sich weg zu 1
übrig bleibt:
[mm] \bruch{1}{1/n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{1}
[/mm]
Mit diesem Gedanken also:
[mm] \bruch{n^2}{n} [/mm] * (n - n - [mm] \bruch{2n}{a}
[/mm]
Das habe ich ausmultipliziert:
[mm] -\bruch{2n^3}{an} [/mm] = [mm] -\bruch{2n^2}{a}
[/mm]
Das soll gleich 4 werden... aber ich stecke fest. Wahrscheinlicher ist jedoch, dass ich einen (ach, mehrere...) Fehler gemacht habe.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
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> Alles klar, danke für den Hinweis, ein kleines, sehr
> kleines Lichtlein ist mir aufgegangen.
>
> Also habe ich mich mal rangewagt, aber komme zu einem
> unsinnigen Ergebnis. Mein Lösungsweg:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2(\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a})=4[/mm]
>
> n ausgeklammert:
>
> NR: [mm]\bruch{1}{(n+1)/n}[/mm]
> n/n kürzt sich weg zu 1
Es gibt da einen etwas bösen Merksatz: Aus Summen kürzen nur die Dummen.
> übrig bleibt:
> [mm]\bruch{1}{1/n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{1}[/mm]
>
> Mit diesem Gedanken also:
> [mm]\bruch{n^2}{n}[/mm] * (n - n - [mm]\bruch{2n}{a}[/mm]
>
> Das habe ich ausmultipliziert:
>
> [mm]-\bruch{2n^3}{an}[/mm] = [mm]-\bruch{2n^2}{a}[/mm]
>
> Das soll gleich 4 werden... aber ich stecke fest.
> Wahrscheinlicher ist jedoch, dass ich einen (ach,
> mehrere...) Fehler gemacht habe.
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Beim Rest hab ich nicht den blassesten Schimmer was du versuchst.
Rechne zuerst den Term in der Klammer aus. Bilde dann den Grenzwert.
(den Limes scheinst du hier bis jetzt zu ignorieren.)
Und wenn dir die Bruchrechenregeln nicht mehr geläufig sind, dann schlag sie nach und übe gegebenfalls.
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Nagut, dann versuche ich das etwas ausführlicher zu erklären.
[mm] \bruch{1}{\bruch{n+1}{n}}
[/mm]
ergibt doch im Detail:
[mm] \bruch{1}{\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}}
[/mm]
und da darf man ja das n/n kürzen und man erhält
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
Umgeformt ergibt dieser Termn dann:
[mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
Ich hatte vorher die 1+ vergessen, daher nochmal neu aufgesetzt, nachdem n ausgeklammert wurde:
[mm] \bruch{n^2}{n}*(\bruch{n}{2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2n}{1+a})
[/mm]
ausmultipliziert:
= [mm] \bruch{2n^2}{1+a}
[/mm]
Meine Idee war, die Gleichung so weit wie möglich von n zu befreien.
Ja, jetzt am Ende müsste noch n gegen unendlich streben, damit hätten wir unendlich/eine Zahl soll gleich 4 sein.
Also bleibt meine Rechnung noch immer Unsinn, das ist mir durchaus bewusst. Aber deshalb frage ich ja nach. Ich weiß, dass ich so meine Probleme habe; gerade Ansätze zu finden fällt mir unglaublich schwer...
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> Nagut, dann versuche ich das etwas ausführlicher zu
> erklären.
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{n+1}{n}}[/mm]
>
> ergibt doch im Detail:
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> und da darf man ja das n/n kürzen und man erhält
>
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
soweit, so richtig.
> Umgeformt ergibt dieser Termn dann:
>
> [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
Nein. Setz oben mal 2 (oder 0 oder -1,...) ein und dann hier. Das ergibt verschiedene Werte, die Terme sind also nicht gleich.
> Ich hatte vorher die 1+ vergessen, daher nochmal neu
> aufgesetzt, nachdem n ausgeklammert wurde:
Wieso klammerst du überhaupt aus?
> [mm]\bruch{n^2}{n}*(\bruch{n}{2}[/mm] - [mm]\bruch{n}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{2n}{1+a})[/mm]
>
> ausmultipliziert:
> = [mm]\bruch{2n^2}{1+a}[/mm]
Beim ausmultiplizieren ist dir ein - verlorengegangen.
>
> Meine Idee war, die Gleichung so weit wie möglich von n zu
> befreien.
Durch den Grenzwert ist links überhaupt kein n mehr. Du musst also gar nichts befreien.
Eine sinnvolle Variante vorzugehen habe ich bereits genannt: Rechne den Term in der Klammer aus (ganz Standard mit Hauptnenner.) bilde anschließend den Grenzwert.
> Ja, jetzt am Ende müsste noch n gegen unendlich streben,
> damit hätten wir unendlich/eine Zahl soll gleich 4 sein.
> Also bleibt meine Rechnung noch immer Unsinn, das ist mir
> durchaus bewusst. Aber deshalb frage ich ja nach. Ich
> weiß, dass ich so meine Probleme habe; gerade Ansätze zu
> finden fällt mir unglaublich schwer...
Das Problem hier ist nicht Ansätze zu finden. Das Problem hier ist viel elementarer:
Du hast Riesen-Probleme beim Bruchrechnen.
(sorry, wenn das hart klingt. Es sieht aber genau so aus.)
Natürlich ist es dann schwer richtige Ansätze zu finden. Aber das Ansätze nicht finden ist Sympton, nicht Ursache.
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> Das Problem hier ist nicht Ansätze zu finden. Das Problem
> hier ist viel elementarer:
> Du hast Riesen-Probleme beim Bruchrechnen.
> (sorry, wenn das hart klingt. Es sieht aber genau so aus.)
> Natürlich ist es dann schwer richtige Ansätze zu finden.
> Aber das Ansätze nicht finden ist Sympton, nicht Ursache.
Das mag so aussehen, aber tatsächlich liegt das Problem beim Rechnen daran, dass ich zu hastig und ungeduldig bin.
Hier habe ich nämlich bei meiner ersten Vorrechnung anstatt
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] geschrieben und bin davon ausgegangen, dass es richtig war und daraus resultierte mein anfängliches n.
Als ich meinen Fehler entdeckte und den Term zu
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
umformte, habe ich einfach nicht gründlich genug drübergeschaut und korrigiert, sondern einfach die 1+1 addiert und eine zwei hingepappt.
Dass, das so nicht funktioniert ist mir absolut klar, aber ich übersehe sowas relativ häufig. Da muss ich einfach sehr viel besser aufpassen, so etwas passiert mir leider in jeder zweiten Aufgabe.
Aber nun zurück zur Aufgabe:
> Durch den Grenzwert ist links überhaupt kein n mehr. Du
> musst also gar nichts befreien.
> Eine sinnvolle Variante vorzugehen habe ich bereits
> genannt: Rechne den Term in der Klammer aus (ganz Standard
> mit Hauptnenner.) bilde anschließend den Grenzwert.
Warum ist dann links kein n mehr?
Wenn doch dort n gegen unendlich strebt, dann ist doch das Produkt erst Recht unendlich (außer bei einer Multiplikation mit 0)
Aber ich mache mich mal einfach an die Arbeit:
Betrachtet wird nur der Term
[mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a}
[/mm]
erweitert:
[mm] \bruch{n-1}{(n+1)*(n-1)}+\bruch{n+1}{(n-1)*((n+1)}-\bruch{2}{n+a}
[/mm]
[mm] \bruch{n-1}{n^2-1}+\bruch{n+1}{n^2-1}-\bruch{2}{n+a}
[/mm]
[mm] \bruch{2n}{n^2-1}-\bruch{2}{n+a}
[/mm]
erweitert:
[mm] \bruch{2n*(n+a)}{n^2-1*(n+a)}-\bruch{2n^2-2}{(n+a)*(n^2-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{2n^2+2na}{n^3+an^2-n-a}-\bruch{2n^2}{n^3+an^2-n-a}
[/mm]
[mm] \bruch{2an+2}{n^3+an^2-n-a}
[/mm]
Auch wenn ich nun schon wieder nicht weiterkomme... bin ich denn auf dem richtigen Weg?
Ich glaube (hoffe) schon, denn ich hatte gerade einfach mal was ausprobiert:
Ich habe [mm] n^2 [/mm] wieder reinmultipliziert (auch wenn ich mir damit vielleicht wieder Ärger eingehandelt habe :) )
dann komme ich auf:
[mm] \bruch{2an^3-2n^2}{n^3+an^2-n-a}
[/mm]
Das ganze mal durch [mm] n^3 [/mm] ergibt:
[mm] \bruch{2a-\bruch{2}{n}}{1+\bruch{a}{n}-\bruch{n}{n^2}-\bruch{a}{n^3}}
[/mm]
so, betrachten wir die Terme einzeln bei n-> unendlich:
[mm] \bruch{2}{n} [/mm] ergibt 0
[mm] \bruch{a}{n} [/mm] ergibt 0
[mm] \bruch{n}{n^2} [/mm] ergibt 0
[mm] \bruch{a}{n^3} [/mm] ergibt 0
damit vereinfacht sich die Gleichung auf:
[mm] \bruch{2a}{1} [/mm] bzw 2a
und somit ist für 2a = 4
a = 2
PUH... das Ergebnis stimmt... aber habe ich jetzt auch korrekt gerechnet?
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> > Das Problem hier ist nicht Ansätze zu finden. Das Problem
> > hier ist viel elementarer:
> > Du hast Riesen-Probleme beim Bruchrechnen.
> > (sorry, wenn das hart klingt. Es sieht aber genau so aus.)
> > Natürlich ist es dann schwer richtige Ansätze zu
> finden.
> > Aber das Ansätze nicht finden ist Sympton, nicht Ursache.
>
> Das mag so aussehen, aber tatsächlich liegt das Problem
> beim Rechnen daran, dass ich zu hastig und ungeduldig bin.
> Hier habe ich nämlich bei meiner ersten Vorrechnung
> anstatt
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] geschrieben und bin davon
> ausgegangen, dass es richtig war und daraus resultierte
> mein anfängliches n.
> Als ich meinen Fehler entdeckte und den Term zu
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
> umformte, habe ich einfach nicht gründlich genug
> drübergeschaut und korrigiert, sondern einfach die 1+1
> addiert und eine zwei hingepappt.
>
> Dass, das so nicht funktioniert ist mir absolut klar, aber
> ich übersehe sowas relativ häufig. Da muss ich einfach
> sehr viel besser aufpassen, so etwas passiert mir leider in
> jeder zweiten Aufgabe.
>
> Aber nun zurück zur Aufgabe:
>
> > Durch den Grenzwert ist links überhaupt kein n mehr. Du
> > musst also gar nichts befreien.
> > Eine sinnvolle Variante vorzugehen habe ich bereits
> > genannt: Rechne den Term in der Klammer aus (ganz Standard
> > mit Hauptnenner.) bilde anschließend den Grenzwert.
>
> Warum ist dann links kein n mehr?
> Wenn doch dort n gegen unendlich strebt, dann ist doch das
> Produkt erst Recht unendlich (außer bei einer
> Multiplikation mit 0)
ich verstehe nicht. Welches Produkt? Und wenn das Produkt unendlich ist, wieso ist dann noch ein n da?
n ist die Laufvariable des Limes, als solche nur innerhalb des Limes definiert.
> Aber ich mache mich mal einfach an die Arbeit:
> Betrachtet wird nur der Term
> [mm]\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n-1}-\bruch{2}{n+a}[/mm]
>
> erweitert:
>
> [mm]\bruch{n-1}{(n+1)*(n-1)}+\bruch{n+1}{(n-1)*((n+1)}-\bruch{2}{n+a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n-1}{n^2-1}+\bruch{n+1}{n^2-1}-\bruch{2}{n+a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n}{n^2-1}-\bruch{2}{n+a}[/mm]
>
> erweitert:
>
> [mm]\bruch{2n*(n+a)}{n^2-1*(n+a)}-\bruch{2n^2-2}{(n+a)*(n^2-1)}[/mm]
Im linken Bruch fehlt im Nenner eine Klammer.
> [mm]\bruch{2n^2+2na}{n^3+an^2-n-a}-\bruch{2n^2}{n^3+an^2-n-a}[/mm]
scheint aber ein Tippfehler zu sein. Dafür fehlt rechts eine -2
> [mm]\bruch{2an+2}{n^3+an^2-n-a}[/mm]
die auch wieder auftaucht. Abgesehen davon ist das soweit richtig.
> Auch wenn ich nun schon wieder nicht weiterkomme... bin ich
> denn auf dem richtigen Weg?
>
> Ich glaube (hoffe) schon, denn ich hatte gerade einfach mal
> was ausprobiert:
> Ich habe [mm]n^2[/mm] wieder reinmultipliziert (auch wenn ich mir
> damit vielleicht wieder Ärger eingehandelt habe :) )
Wieso sollte das Ärger geben?
> dann komme ich auf:
>
> [mm]\bruch{2an^3-2n^2}{n^3+an^2-n-a}[/mm]
>
> Das ganze mal durch [mm]n^3[/mm] ergibt:
>
> [mm]\bruch{2a-\bruch{2}{n}}{1+\bruch{a}{n}-\bruch{n}{n^2}-\bruch{a}{n^3}}[/mm]
>
> so, betrachten wir die Terme einzeln bei n-> unendlich:
> [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ergibt 0
> [mm]\bruch{a}{n}[/mm] ergibt 0
> [mm]\bruch{n}{n^2}[/mm] ergibt 0
> [mm]\bruch{a}{n^3}[/mm] ergibt 0
>
> damit vereinfacht sich die Gleichung auf:
> [mm]\bruch{2a}{1}[/mm] bzw 2a
> und somit ist für 2a = 4
> a = 2
>
> PUH... das Ergebnis stimmt... aber habe ich jetzt auch
> korrekt gerechnet?
Ja, alles korrekt.
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Hallo,
also mein Tipp wäre folgender:
Bringe alle auf einen Nenner, danach kannst du ja mal den Grenzwert betrachten.
Du kannst in der Regel bei solchen Produkten und Summen nicht sofort sagen, was der Grenzwert ist, denn solche Ausdrücke wie [mm] 0*\infty [/mm] sind nicht definiert.
Also probier es mal, den ganzen Term auf einen Nenner zu bringen und dann zu vereinfachen.
Beste Grüße!
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