Textverständnis - Probleme < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Do 03.02.2005 | | Autor: | Moko |
Gibt es bestimmte "Merkmale" in Textformulierungen, durch die man eindeutig erkennen kann, um welche Art von Wahrscheinlichkeit es sich handelt?
Normalerweise habe ich mit Textaufgaben keine Probleme, aber die Stochastik Aufgaben bringen mich zur Verzweiflung!
Die Formeln und Rechenwege sind klar, doch der richtige Ansatz fehlt.
Ich habe Probleme zu erkennen, in welcher Form die gegebenen Angaben vorliegen. Ob es sich z.B. um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt und wenn ja, welche der Angaben dann die Bedingung ist.
Gibt es dafür "Eselsbrücken" ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke Moko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Do 03.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
So allgemein lässt sich das natürlich nicht beantworten.
Aber Formulierungen wie
"Nehmen wir mal an, jemand hat die Eigenschaft A... Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit der Eigenschaft B?"
"Von n Personen, die die Eigenschaft A haben, haben k Personen die Eigenschaft B"
"Unter der Bedingung, dass A gilt, gilt in soundsoviel Prozent aller Fälle auch B"
"A hat in 3/8 der Fälle B zur Folge"
deuten alle auf die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ (vorzustellen als: die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ oder: die Wahrscheinlicheit, das $A$ eintritt, wenn man schon weiß, dass $B$ eintritt, oder: die Wahrscheinlichkeit von $A$, vorausgesetzt $B$ tritt ein oder: die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Hypothese $B$) hin.
Ich hoffe, dass hilft dir etwas.  Vielleicht kannst du ja mal ein konkretes Beispiel posten, wo es dir unklar ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 03.02.2005 | | Autor: | Moko |
Hallo Julius,
danke für die schnelle Rückmeldung.
Ich werde versuchen, anhand einer Beispielsaufgabe mein Problem genauer zu formulieren.
In einer Klasse fallen 10% der Schüler wegen Mathematik allein, 15% wegen einer Fremdsprache allein und 5% wegen Mathematik uns einer Fremdsprache durch.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein durchgefallener Schüler
a) nur wgen Mathe
b) nur wegen einer Fremdsprache
c) wegen Mathe und einer Fremdsprache durchgefallen,
wenn aus anderen Gründen keiner durchgefallen ist?
Meine Logik sagt mir, dass wenn 30% der Klasse durchgefallen ist und 10% der Klasse nur wegen Mathe durchgefallen ist, dass ich nur die 10% durch die 30% teilen muss, um die Anzahl der nur wegen Mathe durchgefallenen zu erhalten. Dieser Weg gilt natürlich auch für die anderen Aufgabenteile.
Aber wie setze ich das in die Wahrscheinlichkeitsrechnung um?
Mein Ansatz lautet:
D: " durchgefallen"
[mm] \overline{D}: [/mm] "nicht durchgefallen"
P(D)=0,3 [mm] \Rightarrow [/mm] P( [mm] \overline{D})=0,7 [/mm]
Und dann? Wie gehe ich mit den Begriffen Mathe und Fremdsprache um? Habe ich M: "Mathe" und [mm] \overline{M}: [/mm] "Sprache"
oder M: "Mathe" und [mm] \overline{M}: [/mm] "nicht Mathe"
sowie S:" Sprache" und [mm] \overline{S}: [/mm] "nicht Sprache"
Wie geht es dann weiter? Was bedingt was?
Ich hoffe, dass mein Problem nachvollziehbar ist.
Wie setze ich "normales, logisches Denken" in Wahrscheinlichkeitsrechnung um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 03.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moko!
Okay, fangen wir mal an:
Es sei
$M = [mm] \{\mbox{alle Personen, die nur wegen Mathe durchfallen}\}$
[/mm]
$F = [mm] \{\mbox{alle Personen, die nur wegen einer Fremdsprache durchfallen}\}$
[/mm]
$D = [mm] \{\mbox{alle Personen, die durchfallen}\}$.
[/mm]
Dann gilt klarerweise:
(1) $M [mm] \subset [/mm] D$,
(2) $F [mm] \subset [/mm] D$,
und daher:
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein durchgefallener
> Schüler
> a) nur wgen Mathe
Dies bedeutet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler nur wegen Mathe durchfällt unter der Voraussetzung, dass er durchfällt. Dies ist nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgendes:
$P(M|D)= [mm] \frac{P(M \cap D)}{P(D)} \stackrel{(1)}{=} \frac{P(M)}{P(D)} [/mm] = [mm] \frac{0,1}{0,3} [/mm] = [mm] 0,\bar{3}$, [/mm]
> b) nur wegen einer Fremdsprache
$P(F|D) = [mm] \frac{P(F \cap D)}{P(D)} \stackrel{(2)}{=} \ldots$
[/mm]
> c) wegen Mathe und einer Fremdsprache durchgefallen,
$P(M [mm] \cap [/mm] F|D) = [mm] \frac{P(M \cap F \cap D)}{P(D)} [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Hast du das verstanden und kriegst du den Rest alleine hin?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 03.02.2005 | | Autor: | Moko |
Hallo Julius,
die Aufgabe ist mir jetzt soweit klar.
Nun möchte ich aber noch wissen, ob ich dich richtig verstanden habe.
Die durchgefallenen Schüler sind Teilmenge der Klasse. Anhand der Angaben in der Aufgabe kann diese Teilmenge bestimmt werden.
P(D)= 0,3
Die Gruppe der nur wegen Mathe durchgefallenen Schüler ist Teilmenge aller durchgefallenen Schüler.
Da hier unter a nach der Teilmenge (nur wegen Mathe) gefragt wurde, ist Mathe also die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass diese aus der Menge aller durchgefallenen Schüler stammt.
Wenn ich das so richtig verstanden habe, kann ich dann bei ähnlichen Aufgaben auch über die Mengenlehre gehen? Kann ich also sagen, dass wenn etwas aus einer Teilmenge bzw. Menge gesucht wird, die Menge / Teilmenge die Bedingung ist?
Danke schon mal, Gruß Moko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moko!
Da ich dich nicht so ganz verstehe, erkläre ich es besser noch einmal.
Gesucht ist ja im ersten Fall
$P(M|D)$.
Dies ist nach Definition gleich
[mm] $\frac{P(M \cap D)}{P(D)}$.
[/mm]
Nun weißt du aber, dass $M [mm] \subset [/mm] D$ gilt (denn wenn jemand nur wegen Mathe durchgefallen ist, dann ist er durchgefallen). Daher gilt:
$M [mm] \cap [/mm] D = M$,
und daher:
$P(M|D) = [mm] \frac{P(M \cap D)}{P(D)} [/mm] = [mm] \frac{P(M)}{P(D)}$.
[/mm]
Man kann also allgemein sagen: Im Falle $A [mm] \subset [/mm] B$ gilt:
$P(A|B) = [mm] \frac{P(A)}{P(B)}$.
[/mm]
Dies kann man sich auch schön anhand des Bildchens in dem Link meiner Mitteilung klarmachen.
Mengentheoretische Überlegungen sind in der Stochastik immer nützlich, klar.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Moko,
auch wenn Stefan dir schon viele nützliche Tipps gegeben hast,
vielleicht möchtest du ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier noch mehr über die bedingte Wahrscheinlichkeit nachlesen.
Ich setze in der Schule auch gerne die Vier-Felder-Tafel ein, die weiter unten bei Teilaufgabe c) erklärt und genutzt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Do 03.02.2005 | | Autor: | Moko |
Hallo Informix,
danke für die Verweise, vorallem für die, mit Aufgaben zum Üben.
Bekannlich macht ja nur Übung den Meister.
Viele Grüße Moko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 03.02.2005 | | Autor: | dominik |
Diese Aufgabe lässt sich meiner Meinung nach gut und einfach mit einem Mengendiagramm lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Habe ein bisschen Mühe mit dem Bildanhang ... !]
Die Grundmenge, also die Menge der möglichen Fälle, beträgt 10%+5%+15%=30%.
Nicht zur Diskussion stehen die ausserhalb der Ovale liegenden 70%.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein durchgefallener
> Schüler
> a) nur wegen Mathe:
Anzahl der "günstigen" Fälle: 10%; Anzahl der möglichen Fälle: 30%
[mm] \Rightarrow p= \bruch{10 \, o/o}{30 \, o/o}= \bruch{10}{30}= \bruch{1}{3}[/mm]
> b) nur wegen einer Fremdsprache
gemäss Figur: [mm]p= \bruch{15 \, o/o}{30 \, o/o}= \bruch{1}{2}[/mm]
> c) wegen Mathe und einer Fremdsprache durchgefallen,
gemäss Figur: [mm]p= \bruch{5 \, o/o}{30 \, o/o}= \bruch{1}{6}[/mm]
> wenn aus anderen Gründen keiner durchgefallen ist?
> Meine Logik sagt mir, dass wenn 30% der Klasse
> durchgefallen ist und 10% der Klasse nur wegen Mathe
> durchgefallen ist, dass ich nur die 10% durch die 30%
> teilen muss, um die Anzahl der nur wegen Mathe
> durchgefallenen zu erhalten. Dieser Weg gilt natürlich auch
> für die anderen Aufgabenteile.
genau! Und der Weg lässt sich aus der Figur herauslesen.
In der bedingten Wahrscheinlichkeit wird der Ereignisraum eingeschränkt: An Stelle der ganzen Klasse (100%) betrachtet man lediglich diejenigen, die wegen M oder F oder beiden durchgefallen sind.
Viele Grüsse
Dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hier auch noch mal eine ähnliche Erklärung der bedingten Wahrscheinlichkeit aus dem Forum:
https://matheraum.de/read?i=36135
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Moko |
Hallo,
danke für eure tollen Erklärungen! Jetzt ist mir die Sache klar.
Ganz viele und liebe Grüße Moko
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