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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 18.06.2008 | | Autor: | wolfe |
| Aufgabe | Wieso ist bei der Verteilung das N unterschiedlich?
Also [mm] X^2_{19;0.05} [/mm] und bei b) [mm] X_{20;0.05}^2
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo
Die Frage könnt ihr ja oben entnehmen, damit ihr aber auch wisst, worauf sich diese bezieht, hier die Aufgabe SAMT Musterlösung.
Aufgabe (Musterlösung unten)
Die Temperatur X in einer Kühltruhe, die stets möglichst exakt -18 Grad Celsius betragen sollte, unterliegt gewissen Schwankungen. Bei n=20 Messungen zu zufällig ausgewählten Zeitpunkten (die soweit auseinander lagen, dass Unabhängigkeit unterstellt werden kann) ergab sich das Stichprobenmittel [mm] \overline{x} [/mm] = -18.44 und ferner der Wert
[mm] x_1^2+...+x_{20}^2 [/mm] = 6806.15 Dabei seien die Beobachtungswerte [mm] x_i [/mm] als Realisierung normalverteilter Stichprobenvariablen anzusehen.
Testen Sie zum Signifikanzniveau 0.05 die Hypothese [mm] H_0, [/mm] dass die Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] von X höchsten gleich 0.5 ist (gegen [mm] H_1 [/mm] : [mm] \sigma [/mm] >0.5)
a) unter der Annahme, dass die Temperatur im Mittel den Sollwert von -18 Grad einhält
b) ohne diese Annahme
Lösung
Es ist [mm] \alpha [/mm] = 0.05
zu a) es ist E(x) = -18
[mm] \Rightarrow [/mm] v = [mm] \frac{1}{0.5^2}*\sum_{i=1}^{20} (x_i [/mm] + [mm] 18)^2 [/mm] = 37.4
zu b) v = [mm] \frac{1}{0.5^2}*\sum_{i=1}^{20} (x_i -\overline{x})^2 [/mm] = 21.912
zu a) Es gilt B(31.41; [mm] \infty) [/mm] aus der [mm] X^2 [/mm] (20) Verteilung
zu b) B = [mm] (30.14;\infty) [/mm] aus der [mm] X^2(19) [/mm] Verteilung)
Mit dem X meine ich dieses Chi.
Wieso unterscheiden sich die N? Also warum einmal 20 und einmal 19?
Die ganz korrekte Schreibweise wäre [mm] X_{20;0.05)}
[/mm]
Danke im voraus
wolfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 19.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin wolfe,
in a) lautet die Teststatistik
[mm] $V=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{20}(X_i-\mu)^2$
[/mm]
in b) ist es
[mm] $V=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{20}(X_i-\hat X)^2$
[/mm]
Der Unterschied [mm] $\mu=-18$ [/mm] (Fall a) und [mm] $\mu$ [/mm] unbekannt macht den
Unterschied. Im ersten Fall ist $V$ [mm] $\chi^2(20)$-, [/mm] im zweiten [mm] $\chi^2(19)$-verteilt. [/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | wolfe |
Hallo
> in a) lautet die Teststatistik
> in b) ist es
Achso, das war mir gar nicht aufgefallen, dass die sich deswegen unterscheiden.
Da ist wohl noch etwas übungsbedarf bei mir.
Danke Dir, luis52
Grüße,
Wolfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 22.06.2008 | | Autor: | wolfe |
| Aufgabe | Die Temperatur X in einer Kühltruhe, die stets möglichst exakt -18 Grad Celsius betragen sollte, unterliegt gewissen Schwankungen. Bei n=20 Messungen zu zufällig ausgewählten Zeitpunkten (die soweit auseinander lagen, dass Unabhängigkeit unterstellt werden kann) ergab sich das Stichprobenmittel $ [mm] \overline{x} [/mm] $ = -18.44 und ferner der Wert
$ [mm] x_1^2+...+x_{20}^2 [/mm] $ = 6806.15 Dabei seien die Beobachtungswerte $ [mm] x_i [/mm] $ als Realisierung normalverteilter Stichprobenvariablen anzusehen.
Testen Sie zum Signifikanzniveau 0.05 die Hypothese $ [mm] H_0, [/mm] $ dass die Standardabweichung $ [mm] \sigma [/mm] $ von X höchsten gleich 0.5 ist (gegen $ [mm] H_1 [/mm] $ : $ [mm] \sigma [/mm] $ >0.5)
b) ohne diese Annahme
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Hallo
Ich habe bei dieser Aufgabe b) doch noch ein kleines Problem festgestellt.
Nämlich
v = [mm] \frac{1}{0.5^2}*\sum_{i=1}^{20} (x_i-\overline{x})^2 [/mm] = 4 * [mm] (\sum^{20}_{i=1} x_i^2 [/mm] - 20 [mm] \overline{x})
[/mm]
Meine Frage ist, wie man das Quadrat da aufgelöst hat?
Warum handelt es sich hierbei nicht um ein Binom, sodass herauskommt
[mm] \sum (x_i^2 [/mm] - [mm] 2x_i\overline{x} [/mm] + [mm] \overline{x}^2)
[/mm]
=> [mm] \sum_{i=1}^{20} (x_i^2-2x_i \overline{x}) [/mm] + 20 [mm] \overline{x}^2
[/mm]
Ist jetzt etwa [mm] \sum (-2x_i \overline{x}) [/mm] + 20 [mm] \overline{x}^2 [/mm] = - 20 [mm] \overline{x}
[/mm]
Verstehe den Trick da leider nicht.
Kann mir jemand helfen?
Grüße,
wolfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 22.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin wolfe,
[mm] $\sum(x_i-\overline{x})^2 =\sum x_i (x_i-\overline{x}) -\overline{x}\sum(x_i-\overline{x})$.
[/mm]
Benutze die alte Bauernregel [mm] $\sum(x_i-\overline{x})=0$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mi 25.06.2008 | | Autor: | wolfe |
Hallo luis52
> Benutze die alte Bauernregel [mm] \sum(x_i-\overline{x})=0 [/mm] $.
Die kannte ich noch gar nicht, und genau deswegen habe ich nachgefragt, um etwas zu lernen.
Danke dir.
Viele Grüße,
wolfe
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