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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:34 Fr 02.04.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | In einer Nebelkammer werden radioaktive Zerfälle eines Präparates gemessen. Um die Zerfallsrate zu bestimmen werden in mehreren Durchgängen hierfür jeweils für eine feste Zeitspanne T die Anzahl der Zerfälle protokolliert. Die Ergebniss dieser, in bester Näherung, unabhängigen Durchgänge seien in [mm] x=(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] dokumentiert und es sei bekannt, dass die Zerfallsrate einer Poissonverteilung zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0 genügt.
i) Geben Sie einen möglichst guten Test für die Hypothese [mm] \lambda [/mm] =1 gegen die Alternative [mm] \lambda [/mm] > 1 zum Niveau
[mm] \alpha [/mm] = 1- [mm] \bruch{65}{4} [/mm] exp(-3)
an, wenn n=3 Durchgänge gemessen werden.
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Also ich hab auch die Lösung.
[mm] S_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}{n} X_i \sim [/mm] Poi [mm] (n*\lambda), [/mm] n=3, [mm] \lambda=1 \Rightarrow \lambda=3
[/mm]
Wir müssen c und [mm] \alpha [/mm] so wählen, dass [mm] E[\phi(x)]= \alpha
[/mm]
Zuerst wählen wir c maximal so, dass [mm] P(S_n
Da ist meine erste Frage: warum müssen wir [mm] 1-\alpha [/mm] betrachten. Sonst betrachtet man doch immer [mm] \alpha, [/mm] oder??
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte!!!
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Hallo!
> In einer Nebelkammer werden radioaktive Zerfälle eines
> Präparates gemessen. Um die Zerfallsrate zu bestimmen
> werden in mehreren Durchgängen hierfür jeweils für eine
> feste Zeitspanne T die Anzahl der Zerfälle protokolliert.
> Die Ergebniss dieser, in bester Näherung, unabhängigen
> Durchgänge seien in [mm]x=(x_1,[/mm] ..., [mm]x_n)[/mm] dokumentiert und es
> sei bekannt, dass die Zerfallsrate einer Poissonverteilung
> zum Parameter [mm]\lambda[/mm] > 0 genügt.
> i) Geben Sie einen möglichst guten Test für die
> Hypothese [mm]\lambda[/mm] =1 gegen die Alternative [mm]\lambda[/mm] > 1 zum
> Niveau
> [mm]\alpha[/mm] = 1- [mm]\bruch{65}{4}[/mm] exp(-3)
> an, wenn n=3 Durchgänge gemessen werden.
>
> Also ich hab auch die Lösung.
> [mm]S_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}{n} X_i \sim[/mm] Poi [mm](n*\lambda),[/mm] n=3,
> [mm]\lambda=1 \Rightarrow \lambda=3[/mm]
> Wir müssen c und [mm]\alpha[/mm]
> so wählen, dass [mm]E[\phi(x)]= \alpha[/mm]
> Zuerst wählen wir c
> maximal so, dass [mm]P(S_n
>
> Da ist meine erste Frage: warum müssen wir [mm]1-\alpha[/mm]
> betrachten. Sonst betrachtet man doch immer [mm]\alpha,[/mm] oder??
'Gute' Tests fallen ja nicht einfach vom Himmel.
Wie kommt ihr zu den Tests?
Ihr benutzt wahrscheinlich das Neyman-Pearson-Lemma?
Dann steht da meistens als Bedingung:
Fehler 1. Art [mm] \le \alpha, [/mm] bzw.
P = Nullhypothese
Q = Alternativhypothese
$P(Entscheidungsfunktion = Q) [mm] \le \alpha$
[/mm]
Bei dir kommt es nun zunächst zu folgendem Zwischenschritt:
Entscheidungsfunktion = Q [mm] \gdw [/mm] IrgendeinTerm [mm] \ge [/mm] c,
also:
$P(IrgendeinTerm [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le \alpha$.
[/mm]
Das nützt uns aber in der Form nichts, weil du ja meistens weißt, wir IrgendeinTerm verteilt ist und insbesondere wie dessen Verteilungsfunktion lautet. Die Verteilungsfunktion hat aber die Form F(c) = P(IrgendeinTerm < c). Die Verteilungsfunktion brauchst du dann meist, um das [mm] \alpha [/mm] ausrechnen zu können.
Deswegen musst du hier ausnahmsweise erst umformen:
$P(IrgendeinTerm [mm] \ge [/mm] c) = 1-P(IrgendeinTerm < c) [mm] \le \alpha$.
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] P(IrgendeinTerm < c) [mm] \ge 1-\alpha$
[/mm]
Trotzdem wundert mich, dass in deiner Lösung etwas anderes behauptet wird.
Vielleicht irre ich mich, ich lasse die Frage mal auf halb beantwortet.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 04.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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