Test < Test-Forum < Internes < Vorhilfe
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 21.06.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo ministel,
du hast die Aufgabe leider nicht richtig gelöst.
Wie Marc dir schon geschrieben hat, hast du nur gezeigt, dass [mm]l(f)=d(f(a_0),f(a_1))[/mm] gilt, wenn f eine Gerade ist. Das war aber gar nicht gefragt! (Denn die Richtung wäre wirklich äußerst trivial.)
Du sollst ja zeigen, dass f eine Gerade ist, wenn [mm]l(f) = d(f(a_0),f(a_1))[/mm] gilt, also genau die andere Richtung der Äquivalenz.
Jetzt gehst du genauso vor, wie ich dir das schon beschrieben hatte, also:
Es gelte: [mm]l(f) = d(f(a_0),f(a_1))[/mm]. Zu zeigen ist, dass f eine Gerade ist. Angenommen, f wäre keine Gerade. Dann gäbe es ein a' mit [mm]a_0 < a' < a_1[/mm], so dass [mm]f(a')[/mm] nicht auf der Verbindungsstrecke von [mm]f(a_0)[/mm] und [mm]f(a_1)[/mm] liegt. Fassen wir [mm]f(a')-f(a_0)[/mm] und [mm]f(a_1)-f(a')[/mm] als Vektoren auf, so sind sie nicht linear abhängig. Nun gilt aber genau dann
[mm]\|x+y\|_2 = \|x\|_2 + \|y\|_2[/mm]
(also "=" in der Dreiecksungleichung),
wenn x und y linear abhängig sind. In diesem Fall gilt also:
[mm]d(f(a_0),f(a_1)) < d(f(a_0),f(a')) + d(f(a'),f(a_1))[/mm] (*).
Offenbar ist dann
[mm]a = a_0 < a' < a_1 = b[/mm]
eine Partition des Intervalls [mm][a,b][/mm] mit
[mm]l(f) = sup(...) \ge d(f(a_0),f(a')) + d(f(a'),f(a_1))[/mm] ,
also (wegen (*)):
[mm]l(f) > d(f(a_0),f(a_1))[/mm] ,
ein Widerspruch. Daher muss f doch eine Gerade gwesen sein.
Frag bei Unklarheiten noch mal nach! 
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
