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| Aufgabe | Beweisen sie, dass es sich um die gleiche funktion handelt:
[mm] f(x)=Larcosh(\bruch{-L}{x}) [/mm] - [mm] \wurzel{L^2-x^2}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{L}{2}ln(\bruch{L+\wurzel[2]{L^2 -x^2}}{L-\wurzel[2]{L^2 - x^2}}) [/mm] - [mm] \wurzel{L^2-x^2}
[/mm]
Hinweis: [mm] arcoshx=ln(x+\wurzel[2]{x^2 - 1}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich habe f(x) umgeformt (hinteren term vernachlässigt, hinweis benutzt, umformung) und komme auf:
[mm] \bruch{L}{2}ln(\bruch{2L^2}{x^2}-1-\bruch{2L}{x^2}\wurzel{L^2-x^2})
[/mm]
von dort ist es -glaube ich- nicht mehr weit, aber ich bekomms nicht hin.
ich würde mich sehr über einen ansatz oder sogar die lösung freuen.
gruß fritz
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fritz,
bist du sicher, dass dort bei $f(x)$ im Argument $\frac{\red{-}L}{X}$ steht?
Wenn dort $\frac{\red{+}L}{X}$ stünde, klappt das mit der Umformung
Außerdem gilt der Tipp mit $arccosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ doch nur für $x\ge 1$, oder?
Falls dort bei $f(x)$ $\frac{L}{X}$ im Argument steht, klappt das so:
Forme zuerst mal den lästigen Wurzelausdruck in $g(x)$ um:
Erweitern mit $L\red{+}\sqrt{L^2-X^2}$ liefert: (jeweils ohne den hinteren Term)
$g(x)=\frac{L}{2}\cdot{}\ln\left(\frac{\left[L+\sqrt{L^2-X^2}\right]^2}{L^2-(L^2-X^2)}\right)=\frac{L}{2}\cdot{}\ln\left(\left[\frac{L+\sqrt{L^2-X^2}}{X}\right]^2\right)$
$=2\cdot{}\frac{L}{2}\cdot{}\ln\left(\frac{L+\sqrt{L^2-X^2}}{X}\right)$ $\qquad$ nach dem Logarithmusgesetz $\log\left(a^b)=b\cdot{}\log(a)$
$=\blue{L\cdot{}\ln\left(\frac{L+\sqrt{L^2-X^2}}{X}\right)}$
Das nun mal mit $f(x)$ vergleichen und für $L\cdot{}arccosh\left(\frac{L}{X}\right)$ den Tipp einsetzen:
$L\cdot{}arccosh\left(\frac{L}{X}\right)=L\cdot{}\ln\left(\frac{L}{X}+\sqrt{\frac{L^2}{X^2}-1}\right)=L\cdot{}\ln\left(\frac{L}{X}+\sqrt{\frac{L^2-X^2}{X^2}}\right)$
$=\blue{L\cdot{}\ln\left(\frac{L+\sqrt{L^2-X^2}}{X}\right)}$
Die Biester sind also gleich - bleibt die Frage nach dem Vorzeichen ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
schachuzipus
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hi,
erstmal danke.
also das "-" steht da ganz sicher. allerdings ist x, ja auch als negativ definiert.
hilft das?
gruß fritz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Meier7777 |
ups,das habe ich wohl vergessen anzugeben:
x [mm] \in [/mm] [-L;0[
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Hallo Fritz!
Ich habe es jetzt nicht im Detail überprüft. Aber für negative $x_$ und dem erwähnten Minuszeichen hebt sich das alles gegenseitig auf.
Formal kann man hier ja $z \ := \ -x$ definieren und dann Schachuzipus' Weg gehen.
Gruß vom
Roadrunner
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