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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Definition der terminalen Sigma Algebra in der VO und im Buch von Klenke lautet für eine Folge von Sigma-Algebren $(\mathcal{A}_i)_{i\ge 1}$: $\mathcal{T}((\mathcal{A}_i)_{i\ge 1})=\bigcap_{m\ge 1}\sigma\left(\mathcal{A}_m, \mathcal{A}_{m+1},..)$=\bigcap_{m\ge 1}\sigma\left(\bigcup_{n\ge m}\mathcal{A}_n\right)
Für eine Folge von Ereignissen $(A_i)_{i\ge 1}$ definiert man dann einfach: $\mathcal{T}((A_i)_{i\ge 1})=\bigcap_{m\ge 1}\sigma\left(\bigcup_{n\ge m}\sigma(A_n)\right)
In einem anderen Buch finde ich nun allerdings für eine Folge von Ereignissen die folgende Def.: $\mathcal{T}((A_i)_{i\ge 1})=\bigcap_{n\ge 1}\sigma(A_n,A_{n+1},..) |
Wenn nun beide Def. richtig sind, so müsste doch $\sigma(\sigma(A_n),\sigma(A_{n+1}),..)=\sigma(A_n,A_{n+1},..)$ gelten, oder? Dabei versteht man ja unter $\sigma(\sigma(A_n),\sigma(A_{n+1}),..)=\sigma\left(\bigcup_n\sigma(A_n)\right)$.
Ich habe es an einfachen Beispielen probiert, da stimmt es tatsächlich. Aber irgendwie glaube ich mich zu erinnern, dass es i.A. nicht stimmt. Wäre super, wenn mir da jemand weiter helfen könnte!
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Hiho,
> Wenn nun beide Def. richtig sind, so müsste doch [mm]\sigma(\sigma(A_n),\sigma(A_{n+1}),..)=\sigma(A_n,A_{n+1},..)[/mm] gelten, oder?
Das tut es trivialerweise ja auch.
Zeige das, wenn es dir nicht klar ist.
Tipp: Sei [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{E}$ [/mm] so ist [mm] $\sigma(\mathcal{C}) \subseteq \sigma(\mathcal{E})$
[/mm]
> Ich habe es an einfachen Beispielen probiert, da stimmt es
> tatsächlich. Aber irgendwie glaube ich mich zu erinnern,
> dass es i.A. nicht stimmt.
Da erinnerst du dich falsch.
Was im Allgemeinen falsch wäre, ist [mm] $\bigcup_{k=n}^\infty \sigma(A_k) [/mm] = [mm] \sigma(A_n,A_{n+1},\ldots)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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