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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 18.06.2009 | | Autor: | Petsi |
| Aufgabe | Seien V und W endlichdimensionale [mm] \IR [/mm] -Vektorräume und V * der Dualraum von V .
Geben Sie einen Isomorphismus [mm] \phi [/mm] : W [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] Hom(V,W) an. |
Hierbei soll [mm] \otimes [/mm] das Tensorprodukt darstellen.
Könnt ihr mir beim Ansatz behilflich sein?
Benötige ich dazu die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes? Ich weiß so in etwa wie diese für Vektorräume aussieht, aber ich habe Probleme dies auch auf den Dualraum zu übertragen!
Könnt ihr mir evtl ein paar Tipps geben?
Vielen Dank schonmal!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 18.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Wir wählen eine Basis [mm] $\{e_1,...,e_n\}$ [/mm] von V und [mm] $\{\tilde{e}_1,...,\tilde{e}_m\}$ [/mm] von W. Jedes [mm]F\in W\otimes V[/mm] lässt sich eindeutig schreiben als [mm] $F=\sum_{i,j}a_{ij}\tilde{e}_j\otimes e_i$, [/mm] nun definieren wir [mm]f\in Hom(V,W)[/mm] durch [mm] $$f(e_i):=\sum_{i,j}a_{ij}\tilde{e}_j$$ [/mm] Nun muss man noch zeigen dass diese Abbildung [mm] $W\otimes V\to [/mm] Hom(V,W)$ ein Isomorphismus ist.
Für eine ausführlichere Darstellung empfehle ich den ![[]](/images/popup.gif) Bröcker, Seite 212ff, insbesondere Satz 2.15 gibt dir eine umfassende und schöne Antwort auf deine Frage.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Vielen Dank!
Aber wie genau kommst du auf die Abbildung f bzw. warum ausgerechnet $ [mm] f(e_i):=\sum_{i,j}a_{ij}\tilde{e}_j [/mm] $ ?
Muss das hier nicht [mm] e_i [/mm] anstatt [mm] \tilde{e}_j [/mm] in der Summe heißen? [mm] \tilde{e}_j [/mm] ist doch ein Element vom Bildraum W oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 19.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber wie genau kommst du auf die Abbildung f bzw. warum
> ausgerechnet [mm]f(e_i):=\sum_{i,j}a_{ij}\tilde{e}_j[/mm] ?
Ganz ehrlich: ich hab mir das nicht ausgedacht. Schau dir mal das Buch an das ist abstrakt aber gut.
Es gibt natürlich viele Isomorphismen, [mm] $V\otimes [/mm] W$ und $Hom(V,W)$ sind nunmal Vektorräume gleicher Dimension, jede Wahl von Basen entspricht einer Wahl eines solchen Isomorphismus.
> Muss das hier nicht [mm]e_i[/mm] anstatt [mm]\tilde{e}_j[/mm] in der Summe
> heißen? [mm]\tilde{e}_j[/mm] ist doch ein Element vom Bildraum W
> oder?
Ich habe tatsächlich einen Fehler gemacht, es muss [mm] $f(e_i):=\sum_j a_{ij}\tilde{e}_j$ [/mm] heißen, also nur über j summieren. Die rechte Seite liegt natürlich in W, logisch f soll ja von V nach W abbilden.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Aber muss das auch in der Summe $ [mm] \tilde{e}_j [/mm] $ und nicht $ [mm] f(e_i):=\sum_{j}a_{ij}{e}_j [/mm] $ heißen? Ich setze doch an dieser Stelle meinen Vektor [mm] e_i [/mm] aus V ein und erhalte Schließlich als Ergebnis einen Vektor aus der Basis meiner $ [mm] \tilde{e}_j [/mm] $ oder liege ich da falsch?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Fr 19.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber muss das auch in der Summe [mm]\tilde{e}_j[/mm] und nicht
> [mm]f(e_i):=\sum_{j}a_{ij}{e}_j[/mm] heißen?
Wenn da stehen würde [mm] $f(e_i)=\sum_ja_{ij}e_j$, [/mm] so wäre doch [mm] $f(e_i)\in [/mm] V$. Es soll aber [mm] $f(e_i)\in [/mm] W$ sein.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Ja du hast recht!
Vielen Dank!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Petsi |
ich habe nun doch noch mal eine Frage:
Du hast ja das Element F so definiert, dass es in W [mm] \otimes [/mm] V liegt.
Somit haben wir ja eine Abbildung f : W [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] Hom(V,W).
Aber es ist ja nach einer Abbildung [mm] \phi [/mm] : W [mm] \otimes [/mm] V* [mm] \to [/mm] Hom(V,W) gefragt, wobei V* der Dualraum von V ist!
Wie genau komme ich denn dann von f auf [mm] \phi [/mm] ?
Danke schonmal
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm] $\{e_1,...,e_n\}$ [/mm] eine Basis von V, [mm] $\{e^1,...,e^n\}$ [/mm] die zugehörige duale Basis in [mm] $V^\star$ [/mm] sowie [mm] $\{\tilde{e}_1,...,\tilde{e}_m\}$ [/mm] eine Basis von W. Dann setze [mm] $$\phi\left(\sum_{i,j}a^j_i\cdot\tilde{e}_j\otimes e^i\right)(w):=\sum_{i,j}a^j_i e^i(w)\cdot\tilde{e}_j$$ [/mm] Das ist natürlich vom Prinzip das gleiche wie vorher, denn damit ist für alle [mm]l=1,...,m[/mm] [mm] $$\phi(F)(e_l)=\phi\left(\sum_{i,j}a^j_i\cdot\tilde{e}_j\otimes e^i\right)(e_l)=\sum_{i,j}a^j_ie^i(e_l)\cdot\tilde{e}_j=\sum_j a^j_l\cdot\tilde{e}_j=f(e_l)$$ [/mm] Lass dich nicht zu sehr verwirren. Es ist nur etwas abstrakt, aber total einfach. Lies den Abschnitt in dem Buch, das ich dir angegeben habe.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Wie ist dein vektor w definiert?
Ist das ein Element von W, aber das müsste ja eigentlich [mm] \tilde{e} [/mm] sein?
Oder ist es einfach ein beliebiger Vektor auf den die Abbildung angewendet wird?
Mit dem Bröcker komme ich nicht zurecht, da in der Buchvorschau zu viele Seiten fehlen!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wie ist dein vektor w definiert? [...]
> ist es einfach ein beliebiger Vektor auf den die
> Abbildung angewendet wird?
Ja, w ist ein beliebiger Vektor aus V.... hätte ich mal v geschrieben, wär sicher didaktischer gewesen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Ok ich denke jetzt müsste ich es verstanden haben!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
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