Tensorprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo
Nun bin ich mal wieder in der Situation vor einer Klausur zu stehen und habe noch eine Aufgabe auf meinem letzten Übungsblatt, zum Thema Tensorprodukt, zu lösen.
Mein Problem besteht darin, dass ich das Tensorprodukt an sich nicht verstehe und es könnte sein das in meiner Klausur eine Rechenaufgabe zu diesem Thema ran kommt.
Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand die folgende Aufgabe vielleicht "schön" erklären könnte, mit rechenschritte und warum dieser Rechenschritt, danke.
Die Aufgabe:
Gegeben seien die Vektoren [mm] v_1:= \vektor{2 \\ 0}, v_2:= \vektor{1 \\ 0 \\ 3}, v_3:= \vektor{0 \\ 3\\ 2\\ 1} [/mm]
schreibe für [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] die Tensorprodukte: [mm] v_1 \otimes v_2 [/mm] , [mm] v_1 \otimes v_3 [/mm] , [mm] v_2 \otimes v_3
[/mm]
als Linearkombinationen der Form [mm] e_i \otimes e_j [/mm] .
Es wäre nett wenn man nur ein Tensorprodukt vorrechnet, oder ein Bsp. das analog zu meiner Aufgabe zu lösen ist, damit ich selbst noch rechnen kann, danke.
Gruß
Tito
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Grüße!
Ich weiß, die Definition des Tensorproduktes ist zunächst schwer zu schlucken, vor allem, wenn diese mit Hilfe einer universellen Eigenschaft geschieht. Die formale Folge ist, dass man mit Tensorprodukten einfach bilinear rechnen kann. Ich mache es Dir einfach vor.
Also, es ist [mm] $v_1 \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $v_1 [/mm] = 2 [mm] e_1$ [/mm] und [mm] $v_2 \in \IR^3$ [/mm] mit [mm] $v_2 [/mm] = [mm] e_1 [/mm] + 3 [mm] e_3$. [/mm] Dann folgt:
[mm] $v_1 \otimes v_2 [/mm] = [mm] (2e_1) \otimes (e_1 [/mm] + 3 [mm] e_3) [/mm] = [mm] (2e_1) \otimes e_1 [/mm] + [mm] (2e_1) \otimes [/mm] (3 [mm] e_3) [/mm] = 2 [mm] (e_1 \otimes e_1) [/mm] + 6 [mm] (e_1 \otimes e_3)$
[/mm]
Einfach formal ausgerechnet. Mit bilinear rechnen meine ich also, dass ich Skalare aus den "Faktoren" des Produktes herausziehen kann und sie entlang Summen aufspalten kann. Das ist alles.
Viel Erfolg bei der Klausur!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 10.02.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo und Danke Lars.
Ich werd mir die Sache mal genauer anschauen und meine Lösung, wenn ich es hin bekomme mal hier rein posten.
Gruß
Tito
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 10.02.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo
Ok, dann hab ich das einfach so gerechnet:
Also das erste Tensorprodukt hast du ja schon errechnet.
> Also, es ist [mm]v_1 \in \IR^2[/mm] mit [mm]v_1 = 2 e_1[/mm] und [mm]v_2 \in \IR^3[/mm]
> mit [mm]v_2 = e_1 + 3 e_3[/mm]. Dann folgt:
>
> [mm]v_1 \otimes v_2 = (2e_1) \otimes (e_1 + 3 e_3) = (2e_1) \otimes e_1 + (2e_1) \otimes (3 e_3) = 2 (e_1 \otimes e_1) + 6 (e_1 \otimes e_3)[/mm]
Ok meine weiteren Lösungen sind:
[mm] v_1:= \vektor{2 \\ 0} [/mm] = [mm] 2e_1 [/mm] , [mm] v_2:= \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] = [mm] e_1 [/mm] + [mm] 3e_3 [/mm] , [mm] v_3:= \vektor{0 \\ 3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] 3e_2 [/mm] + [mm] 2e_3 [/mm] + [mm] e_4
[/mm]
[mm] v_1 \otimes v_3 = (2e_1) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = 2e_1 \otimes 3e_2 + 2e_1 \otimes 2e_3 + 2e_1 \otimes e_4 = 6(e_1 \otimes e_2) + 4(e_1 \otimes e_3) + 2(e_1 \otimes e_4) [/mm]
und
[mm] v_2 \otimes v_3 = (e_1 + 3e_3) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = e_1 \otimes 3e_2 + e_1 \otimes 2e_3 + e_1 \otimes e_4 + 3e_3 \otimes 3e_2 + 3e_3 \otimes 2e_3 + 3e_3 \otimes e_4 = 3(e_1 \otimes e_2) + 2(e_1 \otimes e_3) + (e_1 \otimes e_4) + 9(e_3 \otimes e_2) + 6(e_3 \otimes e_3) + 3(e_3 \otimes e_4) [/mm].
Ok ich hoffe das stimmt so. Jetzt hab ich verstanden wie man rechnet, das ist auch nicht wirklich schwer, jetzt muss ich nur noch verstehen warum man so rechnet  .
Gruß
Tito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Paul
Danke, ja der Tippfehler ist mir vorhin noch aufgefallen .
Gruß
Tito
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Hey, du hast inzwischen den Fehler ja korrigiert! Super!!
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