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| Aufgabe | Hallo, ich finde im Internet keine guten Erklärungen, was die Symmetrie von Tensoren angeht. Kann mir jemand weiterhelfen?
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"Was versteht man unter einem symmetrischen bzw. antisymmetrischen Tensor?"
Danke im voraus...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Sa 01.05.2010 | | Autor: | pelzig |
Das Problem an Tensoren ist ja immer, dass sie so viele Gesichter haben.
Aus algebraischer Sicht hat man zu zwei A-Moduln M und N das Tensorprodukt [mm] $M\otimes_A [/mm] N$ und die Elemente daraus heißen Tensoren. Ist V zum Beispiel ein endlich-dimensionaler [mm]\IK[/mm]-Vektorraum mit einer Basis [mm] $\{e_i\}_{1\le i\le n}$, [/mm] dann ist auch [mm]T^kV:=V\otimes_{\IK} V\otimes_\IK,...,\otimes_{\IK} V[/mm] (k-mal) ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer Basis [mm] $$\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes...\otimes e_{i_k}\}_{1\le i_1,...,i_k\le n}$$ [/mm] Jeder Tensor [mm]t\in T^kV[/mm] hat also die Form [mm] $$\sum_{i_1,...,i_k=1}^n a^{i_1...i_k}\cdot e_{i_1}\otimes...\otimes e_{i_k}$$ [/mm] für gewisse, eindeutigbestimmte Zahlen [mm] $a^{i_1...i_k}\in\IK$. [/mm] Nun heißt [mm]t\in T^kV[/mm] symmetrisch bzw. antisymmetrisch, wenn für alle [mm] $\sigma\in{S_k}$ [/mm] (Permutationsgruppe) gilt [mm] $$a^{\sigma(i_1)...\sigma(i_k)}=a^{i_1...i_k}\quad\text{bzw.}\quad a^{\sigma(i_1)...\sigma(i_k)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot a^{i_1...i_k}$$ [/mm]
Fasst man einen Tensor [mm]t\in T^kV[/mm] aber einfach als multilineare Abbildung [mm] $\phi_t:V^\*\times V^\*\times ...\times V^\*\to\IK$ [/mm] auf, dann heißt [mm]t[/mm] symmetrisch falls [mm] $\phi_t$ [/mm] eine symmetrische multilineare Abbildung ist und antisymmetrisch, falls [mm] $\phi_t$ [/mm] alternierend ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Sa 01.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun heißt [mm]t\in T^kV[/mm] symmetrisch
> bzw. antisymmetrisch,
Hast du dazu eine Quelle? Ich kenne das so, dass man dies nicht mehr als Tensor schreibt und nicht mehr als direktes Element der Tensoralgebra auffasst sondern zu einem Quotienten übergeht, also man teilt zB im symmetrischen Fall das Ideal erezeugt von den Elementen [m]a\otimes b - b \otimes a[/m] heraus. Mir fällt auch auf, warum: man möchte zwei Elemente in der Tensor-Algebra ja immer noch mit einander "tensorieren", was in deinem fall schief geht, da die Elemente an sich dann aus deinem UVR rausfallen. Wenn man das Ideal aber herausteilt, drückt sich das Tensorprodukt mit herunter. Also: I challenge you!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Sa 01.05.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Also eins vorweg: ich bin kein Algebraiker. Ja, man kann auch das Symmetrische/Antisymmetrische Produkt eines Vektorraums V einführen als Quotienten des Tensorprodukts [mm] $V\otimes [/mm] V$ bzgl. gewisser Ideale, so haben wir das damals auch in der Algebra-VL gemacht. Das ist natürlich in der Hinsicht elegant, dass man genau die redundanten Informationen, die in der Symmetrie/Antisymmetrie-Bedingung liegen, wegzuschmeißt. In diesem Sinne ist ein symmetrischer/antisymmetrischer Tensor also ein Element in diesen Quotientenräumen.
Ein alternativer, aber äquivalenter Zugang, den ich fürs erste irgendwie deutlich anschaulicher finde ist aber eben z.B. die antisymmetrischen Tensoren als Untermodul [mm] $Alt^kV\subset [/mm] T^kV$ aufzufassen. Natürlich ist dann für [mm] $s\in [/mm] Alt^kV$, [mm]t\in Alt^lV[/mm] im allgemeinen nicht mehr [mm]s\otimes t\in Alt^{k+l}M[/mm] (ich glaube das war das, was du mir mit deinem Einwand sagen wolltest). Um sich zu behelfen, muss man dann [mm]s\otimes t[/mm] mit "mit Gewalt antisymmetriesieren", was man über eine Projektion der Art [mm] $$\Phi^k:T^kV\ni \alpha\mapsto \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k}\alpha_\sigma\in [/mm] Alt^kV$$ erreichen kann, wobei [mm] $(e_1\otimes...\otimes e_k)_\sigma:=e_{\sigma(1)}\otimes...\otimes e_{\sigma(k)}$. [/mm] Nun kann man z.B. das Wedgeprodukt für [mm]\omega\in Alt^kV[/mm] und [mm]\eta\in Alt^lV[/mm] definieren durch [mm] $(k,l)\cdot\Phi^{k+l}(\omega\otimes\eta)$, [/mm] wobei $(k,l)$ noch ein gewisser Faktor ist der glaube ich sicherstellt, dass das ganze auch assoziativ wird.
Das ganze Prozedere kannst du dir zum Beispiel anschauen im Bröcker: "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" im Abschnitt VII.3 über Alternierende Formen. Ich hoffe damit auf deine Frage geantwortet zu haben...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:40 Sa 01.05.2010 | | Autor: | SEcki |
Siehe andere Mitteilung.
SEcki
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