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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Temperaturverteilung im stab
Temperaturverteilung im stab < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Temperaturverteilung im stab: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mo 26.03.2007
Autor: spektrum

Aufgabe
Wämeleitungsgleichung:

[mm] \partial u/\partial [/mm] v = [mm] \alpha^2 \partial^2 [/mm] u / [mm] \partial s^2 [/mm]  

mit randbedingungen:

u(0,t) = 0, [mm] \partial u/\partial [/mm] s (L,t) + [mm] \sigma [/mm] u(L,t)=0 für alle t [mm] \ge [/mm] 0

und anfangsbedinungen:

u(s,0)=f(s) für 0 [mm] \le s\le [/mm] L

L ist die Länge des Stabes.

zz. Wenn die Reihe

u(s,t):= [mm] \summe A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}} [/mm] s) [mm] e^{-\lambda_{n}a^2t} [/mm]

konvergiert und die Ableitungen [mm] \partial u/\partial [/mm] t, [mm] \partial^2/\partial s^2 [/mm] durch gliedweise differentation gewonnen werden können, ist u(s,t) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung, die den RANDBEDINUNGEN genügt.

( [mm] u_{n}= A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}} [/mm] s) [mm] e^{-\lambda_{n}a^2t} [/mm] )

halli hallo!

ich habe diese aufgabe folgendermaßen zu lösen versucht:

es gilt doch folgendes:

die dgl. und die RB sind linear und homogen, also ist jede endliche Summe von lösungen [mm] u_{n} [/mm] eine lösung der Dgl. und RB.

Für die unendliche Summe gilt das auch, wenn die unendliche summe konvergiert (dafür muss man ein bestimmtes [mm] A_{n} [/mm] wählen, und das ist ja eigentlich immer möglich) und die ableitung durch gliedweise differentation gewonnen werden können.


also ist die aufgabe eigentlich schon gelöst oder bin ich da ein bisschen zu schnell??

vielen dank schon mal im voraus für eure vorschläge!

lg spektrum

        
Bezug
Temperaturverteilung im stab: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Di 17.04.2007
Autor: spektrum

hallo!

ich frage einfach noch einmal nach!
kann mir bitte jemand die richtigkeit meiner annahmen bestätigen oder widerlegen?

bin für jeden tipp dankbar!

lg spektrum

Bezug
        
Bezug
Temperaturverteilung im stab: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:46 Mi 25.04.2007
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Wämeleitungsgleichung:
>  
> [mm]\partial u/\partial[/mm] v = [mm]\alpha^2 \partial^2[/mm] u / [mm]\partial s^2[/mm]
>  
>
> mit randbedingungen:
>  
> u(0,t) = 0, [mm]\partial u/\partial[/mm] s (L,t) + [mm]\sigma[/mm] u(L,t)=0
> für alle t [mm]\ge[/mm] 0
>  
> und anfangsbedinungen:
>  
> u(s,0)=f(s) für 0 [mm]\le s\le[/mm] L
>  
> L ist die Länge des Stabes.
>  
> zz. Wenn die Reihe
>
> u(s,t):= [mm]\summe A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}}[/mm] s)
> [mm]e^{-\lambda_{n}a^2t}[/mm]
>
> konvergiert und die Ableitungen [mm]\partial u/\partial[/mm] t,
> [mm]\partial^2/\partial s^2[/mm] durch gliedweise differentation
> gewonnen werden können, ist u(s,t) eine Lösung der
> Wärmeleitungsgleichung, die den RANDBEDINUNGEN genügt.
>  
> ( [mm]u_{n}= A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}}[/mm] s)
> [mm]e^{-\lambda_{n}a^2t}[/mm] )
>  halli hallo!
>  
> ich habe diese aufgabe folgendermaßen zu lösen versucht:
>  
> es gilt doch folgendes:
>  
> die dgl. und die RB sind linear und homogen, also ist jede
> endliche Summe von lösungen [mm]u_{n}[/mm] eine lösung der Dgl. und
> RB.
>  
> Für die unendliche Summe gilt das auch, wenn die unendliche
> summe konvergiert (dafür muss man ein bestimmtes [mm]A_{n}[/mm]
> wählen, und das ist ja eigentlich immer möglich) und die
> ableitung durch gliedweise differentation gewonnen werden
> können.
>  
>
> also ist die aufgabe eigentlich schon gelöst oder bin ich
> da ein bisschen zu schnell??
>  

Damit sollte die aufgabe geloest sein, ja.

> vielen dank schon mal im voraus für eure vorschläge!
>  
> lg spektrum


VG
Matthias

Bezug
                
Bezug
Temperaturverteilung im stab: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:05 Mi 25.04.2007
Autor: spektrum

hallo matthias!

vielen lieben dank für deine Antwort!!

lg spektrum

Bezug
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