Teleskopreihe,Konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige : die Teleskopreihen [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] und
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k+1} [/mm] sind genau dann konvergent, wenn [mm] lim_{n->\infty}x_n [/mm] existiert. In diesem Falle ist
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})= lim_{n ->\infty} x_n [/mm] - [mm] x_0
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k+1})=x_1 [/mm] - [mm] lim_{n->\infty}x_n [/mm] |
Ich hab mir die reihen einzeln aufgeschrieben. Aber ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll. Kann mir da wer einen Tipp geben.
Ansätze würde ich gerne geben, aber was ich versucht habe ist alles Quark gewesen
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Hiho,
dir sollte bekannt sein, dass eine Reihe letztlich nichts anderes ist als der Grenzwert der Partialsummen.
Schreibe dir mal die Folge von Partialsummen hin, dann stehts eigentlich schon da und es ist nicht viel zu zeigen.
MFG,
Gono.
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Hallo
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1}) [/mm] $ und
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k+1}) [/mm] $
[mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] $ - $ [mm] x_{k-1})= x_1 [/mm] - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] .. + [mm] x_{n-1} [/mm] - [mm] x_{n-2} [/mm] + [mm] x_n [/mm] - [mm] x_{n-1} [/mm] = - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_n
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{n} (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k+1})=x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] + [mm] x_4 -x_5....+x_{n-1}-x_{n}+x_n-x_{n+2} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_{n+2}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt mal, wie mache ich denn da weiter?
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Hallo theresetom,
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> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm] und
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (x_{k}[/mm] - [mm]x_{k+1})[/mm]
>
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}(x_{k}[/mm] [mm]-[/mm] [mm]x_{k-1})= x_1[/mm] - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_5[/mm] - [mm]x_4[/mm] .. + [mm]x_{n-1}[/mm] - [mm]x_{n-2}[/mm] + [mm]x_n[/mm] - [mm]x_{n-1}[/mm]
> = - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_n[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (x_{k}[/mm] - [mm]x_{k+1})=x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] + [mm]x_4 -x_5....+x_{n-1}-x_{n}+x_n-x_{n+2}[/mm] = [mm]x_1[/mm] - [mm]x_{n+2}[/mm]
Hier kommt [mm] x_1-x_{n+1} [/mm] raus.
>
> Ich hoffe das stimmt mal, wie mache ich denn da weiter?
Jetzt vergleiche mal mit der Behauptung.
Was gilt denn z. B. für [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_0) [/mm] ?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 26.02.2012 | | Autor: | theresetom |
achso, schon verstanden ;)
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