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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 08.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Eine Funktion ist gegeben
f(x) = [mm] 2x*\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Berechnen sie Hoch- und Tiefpunkte und weisen Sie diese über den Vorzeichenwechsel nach. Machen wir das doch mal ebend.
f(x) [mm] \bruch{2-4x^2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
(Die Ableitung ist richtig und war auch gegeben *g*)
=> Berechnung der Extremstellen
[mm] 2-4x^2= [/mm] 0
[mm] x_{1,2}= \pm \wurzel{0,5}
[/mm]
Nun beginnt das Problem mit dem Vorzeichenwechsel
[mm] f(\wurzel{0,25} [/mm] = [mm] \pm [/mm] ...
[mm] f(\wurzel{\bruch{2}{3}}) [/mm] = [mm] \pm [/mm] ...
Wie interpretiere ich nun dieses [mm] \pm, [/mm] weil die Wurzel aus 0,25 wäre ja 0,5 und 0,5?
Die Funktion hat ja tatsächlich Extrema, also heißt es, wenn beides ein [mm] \pm [/mm] Ergebnis hat, ist immer ein Extremum vorhanden? Wie erkenne ich dann, dass es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt?
b) Der Graph der ersten Ableitungsfunktion hat Ähnlichkeit mit dem Graphen einer quadratischen Parabel g(x) (gleiche Nullstellen und gleiche Extremstelle).
f(x) = [mm] 2x*\wurzel{1-x^2} [/mm] = 0
Die Nullstellen sind N(0|0) N(1|0) N(-1|0)
So, nun würde ich zwei Punkte für die Parabel nehmen : N(0|0) N(1|0)
und den Punkt des Extremas! [mm] E(\wurzel{0,5}|1)
[/mm]
Daraus kann man doch keine quadratische Parabel erstellen? Oder wie lautet deren Funktionsgleichung?
g(x) = [mm] ax^2+bx+c [/mm] oder nicht?
Es sind wohl die Extremstellen der Funktion f'(x) gemeint, also die Wendestellen der Funktion f(x).
Diese liegt jedenfalls bei Null!
Daraus ergeben sich für g(x) folgende Bed.
[mm] g(\wurzel{0,5} [/mm] = 0
[mm] g(-\wurzel{0,5} [/mm] = 0
g'(0)=0
Dann komme ich auf:
Bed. III liefert b=0
Bed. I : 0,5a+c=0
Bed. II: 0,5a+c=0
Hier ergeben sich jetzt folgende Fragen:
1) Diese Gleichungen haben doch einen Namen, irgendwie nicht eindeutig lösbar, oder in abhängigkeit lösbar?
2) Wie löse ich das nun auf?
Eigentlich würde ich sagen, ich kann unendlich viele Parabeln aufstellen, weil halt 0,5a+c = 0 unendlich viele Lösungen hat.
Aber rein praktisch wäre sicherlich [mm] -x^2+2
[/mm]
Hm, dann gibt es doch unendlich viele? Ich habe als Wendestelle f(x) für [mm] W(0|[b]2[\b]) [/mm] berechnet. ABER in der Aufgabe steht ja, ExtremSTELLE der Ableitung, d.h. es gibt keine Einschränkung wie a>0 oder c<0, es könnte auch a<0 und c>0 sein, da eben das Extremum bei x=0 liegt.
c) Beschreiben Sie die Wirkung des Faktors, um den sich die Funktionsterme f' und g unterscheiden.
Was bedeutet das? Gehen wir mal jetzt von g(x) = [mm] -x^2+2 [/mm] (meine Lösung) aus. Welcher Faktor ist dann da gemeint?
Hier nochmal der konkrete Zusammenhang:
g(x) = [mm] -x^2+2
[/mm]
f(x) [mm] \bruch{2-4x^2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Grüße Phoney
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Hi,
> f(x) = [mm]2x*\wurzel{1-x^2}[/mm]
> f(x) [mm]\bruch{2-4x^2}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> (Die Ableitung ist richtig und war auch gegeben *g*)
>
> => Berechnung der Extremstellen
> [mm]2-4x^2=[/mm] 0
> [mm]x_{1,2}= \pm \wurzel{0,5}[/mm]
genau... soweit wars ja kein Problem.
> Nun beginnt das Problem mit dem Vorzeichenwechsel
> [mm]f(\wurzel{0,25}[/mm] = [mm]\pm[/mm] ...
> [mm]f(\wurzel{\bruch{2}{3}})[/mm] = [mm]\pm[/mm] ...
Wo kommt denn das [mm]\pm[/mm] her? Ich nehme an, das hast du aus irgendeiner Mitschrift!? Für den Vorzeichenwechsel nimmst du einen Wert ein bißchen kleiner und ein bißchen größer als die extremwertverdächtige Stelle und berechnest den Wert der Ableitung, also [mm]f'(\sqrt{0,25}-\epsilon)[/mm] und [mm]f'(\sqrt{0,25}+\epsilon)[/mm] mit einem [mm]\epsilon>0[/mm], also z.B. [mm]f'(\sqrt{0,25}-0,01)=0.078,f'(\sqrt{0,25}+0,01)=-0.0817[/mm]. Das bedeutet dann der Anstieg der Funktion ist vor der Stelle >0 und danach <0, was einen Vorzeichenwechsel der Ableitung und in dieser Reihenfolge eine Maximalstelle (oder Hochpunkt) bedeutet. Analog für den zweiten Wert, erhälst du einen VZW in der anderen Reihenfolge, also eine Minimalstelle. Klar soweit?
> b) Der Graph der ersten Ableitungsfunktion hat Ähnlichkeit
> mit dem Graphen einer quadratischen Parabel g(x) (gleiche
> Nullstellen und gleiche Extremstelle).
>
Also für mich steht da [mm]f'(x)=\bruch{2-4x^2}{\wurzel{1-x^2}}\stackrel{!}{=}g(x)=ax^2+bx+c[/mm] und nun müßtest du [mm]a,b,c[/mm] so bestimmen, daß die Gleichheit gilt.
> Daraus ergeben sich für g(x) folgende Bed.
> [mm]g(\wurzel{0,5}[/mm] = 0
> [mm]g(-\wurzel{0,5}[/mm] = 0
> g'(0)=0
>
> Dann komme ich auf:
> Bed. III liefert b=0
>
> Bed. I : 0,5a+c=0
> Bed. II: 0,5a+c=0
Naja, da du ja zweimal die selbe (lineare) Gleichung da stehen hast, suchst du also eine Lösung einer Gleichung mit zwei Unbekannten. Das ist natürlich nicht eindeutig lösbar. Du kannst nur eine Unabhängige mit der anderen ausdrücken. Also z.B. [mm]c=-0.5a[/mm]. Somit hast du für g: [mm]g(x)=ax^2-0.5a=a(x^2-0.5)[/mm], also sowas wie eine Kurvenschar.
Kommen wir nun nochmal auf die Geschichte mit den gleichen Extremstellen zurück. Die von [mm]f'(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] sollen ja identisch sein... und nicht nur die Stellen sondern auch deren Funktionswerte. Du suchst also das a jetzt so, daß [mm]f'(0)=2\stackrel{!}{=}g_a(0)=-0.5a[/mm]. Naja, das ist erfüllt für [mm]a=-4[/mm]. Also [mm]g(x)=-4x^2+2[/mm].
Deine Lösung [mm]-x^2+2[/mm] hätte dieselben Nullstellen wie [mm]f'(x)[/mm].
> c) Beschreiben Sie die Wirkung des Faktors, um den sich die
> Funktionsterme f' und g unterscheiden.
>
> Was bedeutet das?
Der Faktor ist ja nun gut abzulesen: [mm]g(x)=2-4x^2[/mm], also [mm]\wurzel{1-x^2}f'(x)=g(x)[/mm]. Kommst du jetzt weiter, wenn du ein bißchen an dem Faktor rumspielst?
Gruß 28
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 08.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Erst einmal vielen Dank für die zahlreichen Antworten.
Dennoch hats nicht ganz geklickt bei mir. Leider...
> > c) Beschreiben Sie die Wirkung des Faktors, um den sich
> die
> > Funktionsterme f' und g unterscheiden.
> >
> > Was bedeutet das?
>
> Der Faktor ist ja nun gut abzulesen: [mm]g(x)=2-4x^2[/mm], also
> [mm]\wurzel{1-x^2}f'(x)=g(x)[/mm]. Kommst du jetzt weiter, wenn du
> ein bißchen an dem Faktor rumspielst?
Also g(x) und f'(x) ist jetzt
f'(x)=$ [mm] \bruch{2-4x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] $
g(x) = [mm] -4x^2+2
[/mm]
f'(x) = $ [mm] \bruch{g(x)}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] $
> [mm]\wurzel{1-x^2}f'(x)=g(x)[/mm]
Also ist der Faktor jetzt [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] ?
Inwiefern beeinflußt der die Funktion? Die Y-Werte der Funktion werden ziemlich schnell negativ und die "Steigung" fällt schnell.
Ich versteh noch nicht so ganz, worum es hier überhaupt geht.
Liebe Grüße
Phoney
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nun, ich würde nicht sagen, daß du gleich eine ganze Kurvendiskussion von [mm]h(x):=\sqrt{1-x^2}[/mm] anstrengen mußt, aber das Verhalten für [mm]x\rightarrow\pm 1[/mm] solltest du dir mal angucken.
Und den Zusammenhang, was die Ableitung von f und das g dabei machen. Was allerdings genau damit gemeint ist, weiß ich so ad hoc auch nicht. Habt ihr sowas ähnliches vielleicht schonmal bei einer anderen Aufgabe gemacht, so daß du es hier mal andeuten könntest?
28
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Do 08.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo 28. Danke für deine Antwort, die hat mir schon geholfen. Auf diesen Faktor wäre ich nie gekommen (also vom Ansatz her).
> Habt ihr sowas ähnliches vielleicht schonmal bei einer anderen Aufgabe
> gemacht, so daß du es hier mal andeuten könntest?
Bedauerlicherweise haben wir das noch nie gemacht, das ist/war ja mein Problem.
Gruß vom Phoney
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Hallo Phoney!
> [mm]x_{1,2}= \pm \wurzel{0,5}[/mm]
> Wie interpretiere ich nun dieses [mm]\pm,[/mm]
Du vergisst hier wohl, dass es sich bei [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{\bruch{1}{2}}$ [/mm] um eine verkürzte Schreibweise handelt.
Es existieren doch zwei mögliche Extremstellen, nämlich:
[mm] $x_{1} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}\wurzel{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
und
[mm] $x_{2} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\wurzel{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Das heißt ja, dass Du streng genommen auch zweimal den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung überprüfen musst: einmal mit dem positiven Wert, einmal mit dem negativen.
> weil die Wurzel aus 0,25 wäre ja 0,5 und 0,5?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, die Wurzel ist immer der nichtnegative Wert (d.h. [mm] $\ge [/mm] \ 0$) !!
Gruß vom
Roadrunner
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