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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Sa 05.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es sei V ein VEktorraum über einem Körper K und U und W Teilräume von V mit V =U + W. Weiter seien X = [mm] {u_1,..., u_m} \subseteq [/mm] U eine m-elementige Teilmenge und Y = [mm] {w_1,..., w_n} \subseteq [/mm] W eine n-elementige Teilmenge.
a) Ist [mm] span_K(X \cup [/mm] Y) = V, so ist [mm] span_K(X) [/mm] = U und [mm] span_K(Y) [/mm] =W ?
b) Betrachten Sie in [mm] R^n [/mm] die Unterräume
[mm] U_1 [/mm] := {(r,r,...,r) | r [mm] \in [/mm] R} [mm] U_2 [/mm] := [mm] {(r_1,r_2..., r_n) | \summe_{i=1}^{n} r_i =0} [/mm]
Ist die Summe [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] direkt?
c) Ist [mm] span_K(X) [/mm] = U und [mm] span_K(Y)=W, [/mm] so ist [mm] span_K(X \cup [/mm] Y) =V
d) Ist U [mm] \cap [/mm] W = {0} und X Basis von U und Y Basis von W, so ist X [mm] \cup [/mm] Y Basis von V.
e) Betrachten Sie in R^107 die Unterräume
[mm] U_1 [/mm] := {(r,r,...,r) | r [mm] \in [/mm] R} [mm] U_2 [/mm] := [mm] {(r_1,r_2..., r_107) | \summe_{i=1}^{107} r_i =0} [/mm]
Berechnen Sie [mm] dim_K(U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] !
f) Ist dim V = m+n und [mm] span_K(X) [/mm] = U und [mm] span_K(Y) [/mm] =W, so ist X [mm] \cup [/mm] Y Basis von V. |
Guten Tag,
zu
a) Ich denke, ja, weil wenn die Vereinigungsmenge den ganzen Raum V aufspannt, dann müssen auch die Elemente der Teilmengen, den jeweiligen Unterraum aufspannen. Oder nicht?
b) Wenn X und Y linear unabhängig sind, dann heisst X [mm] \oplus [/mm] Y direkte Summe. Ein einzelner Unterraum ist stets linear unabhängig. Die Frage ist, kann ich beweisen, dass hier X [mm] \cap [/mm] Y = {0} ist?
Würde zunächst davon asugehen, dass wenn zu den [mm] r_i [/mm] ein r beliebiges r dazukommt, keine lineare Unabhängigkeit mehr besteht.
Gibt es dazu Ideen? Hinweise...???
c) Da ich nicht davon ausgehen kann, dass die Menge U [mm] \cup [/mm] W linear unabhängig ist, würde ich hier sagen: Nein.
d) Ja.
e) Da soll eine Zahl herauskommen. Wenn ich bei meiner Annahme aus b) bleibe, würde ich sagen [mm] dim_K(U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = 107.
f) auch hier würde ich Ja sagen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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> Es sei V ein VEktorraum über einem Körper K und U und W
> Teilräume von V mit V =U + W. Weiter seien X = [mm]{u_1,..., u_m} \subseteq[/mm]
> U eine m-elementige Teilmenge und Y = [mm]{w_1,..., w_n} \subseteq[/mm]
> W eine n-elementige Teilmenge.
>
> a) Ist [mm]span_K(X \cup[/mm] Y) = V, so ist [mm]span_K(X)[/mm] = U und
> [mm]span_K(Y)[/mm] =W ?
> b) Betrachten Sie in [mm]R^n[/mm] die Unterräume
>
> [mm]U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {(r,r,...,r) | r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R} [mm]U_2[/mm] := [mm]{(r_1,r_2..., r_n) | \summe_{i=1}^{n} r_i =0}[/mm]
>
> Ist die Summe [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] direkt?
>
> c) Ist [mm]span_K(X)[/mm] = U und [mm]span_K(Y)=W,[/mm] so ist [mm]span_K(X \cup[/mm]
> Y) =V
>
> d) Ist U [mm]\cap[/mm] W = {0} und X Basis von U und Y Basis von W,
> so ist X [mm]\cup[/mm] Y Basis von V.
>
> e) Betrachten Sie in R^107 die Unterräume
>
> [mm]U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {(r,r,...,r) | r [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R} [mm]U_2[/mm] := [mm]{(r_1,r_2..., r_107) | \summe_{i=1}^{107} r_i =0}[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]dim_K(U_1[/mm] + [mm]U_2)[/mm] !
>
> f) Ist dim V = m+n und [mm]span_K(X)[/mm] = U und [mm]span_K(Y)[/mm] =W, so
> ist X [mm]\cup[/mm] Y Basis von V.
> Guten Tag,
>
> zu
>
> a) Ich denke, ja, weil wenn die Vereinigungsmenge den
> ganzen Raum V aufspannt, dann müssen auch die Elemente der
> Teilmengen, den jeweiligen Unterraum aufspannen. Oder
> nicht?
Hallo,
nein das stimmt nicht, und Du solltest ein Gegenbeispiel suchen.
>
> b) Wenn X und Y linear unabhängig sind, dann heisst X
> [mm]\oplus[/mm] Y direkte Summe.
Habt Ihr das so definiert?
Was meinst Du mit X und Y linear unabhängig?
> Ein einzelner Unterraum ist stets
> linear unabhängig.
Was meinst Du damit?
> Die Frage ist, kann ich beweisen, dass
> hier X [mm]\cap[/mm] Y = {0} ist?
Ja, das mußt Du herausfinden.
> Würde zunächst davon asugehen, dass wenn zu den [mm]r_i[/mm] ein r
> beliebiges r dazukommt, keine lineare Unabhängigkeit mehr
> besteht.
Was meinst Du hiermit?
>
> Gibt es dazu Ideen? Hinweise...???
Um X [mm]\cap[/mm] Y = {0} zu zeigen, nimm an, daß es ein gemeinsames Element gibt und zeige, daß diess =0 sein muß.
>
> c) Da ich nicht davon ausgehen kann, dass die Menge U [mm]\cup[/mm]
> W linear unabhängig ist, würde ich hier sagen: Nein.
Die Menge U [mm] \cup [/mm] W ist ein Vektorraum.
Was meinst Du hier mit der linearen Unabhängigkeit?
>
> d) Ja.
Ja.
>
> e) Da soll eine Zahl herauskommen. Wenn ich bei meiner
> Annahme aus b)
Was hast Du dort angenommen?
bleibe, würde ich sagen [mm]dim_K(U_1[/mm] + [mm]U_2)[/mm] = 107.
Warum? (Es stimmt.)
>
> f) auch hier würde ich Ja sagen.
Begründung?
Gruß v. Angela
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß
> Wolfgang
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Di 08.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
zu c)
"Ist [mm] span_K(X) [/mm] = U und [mm] span_K(Y) [/mm] = W, so ist [mm] span_K(X \cup [/mm] Y) = V"
> > c) Da ich nicht davon ausgehen kann, dass die Menge U [mm]\cup[/mm]
> > W linear unabhängig ist, würde ich hier sagen: Nein.
>
> Die Menge U [mm]\cup[/mm] W ist ein Vektorraum.
> Was meinst Du hier mit der linearen Unabhängigkeit?
>
Ich meinte, nein, weil U [mm] \cup [/mm] W linear abhängige Vektoren enthalten kann, U [mm] \cap [/mm] W nicht leer sein muss.
Gruß
Wolfgang
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