Teilungsverhältnisse im Trapez < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
| Aufgabe | Ich möchte in einem beliebigen Trapez ABCD die Teilungsverhältnisse durch zwei Seitenhalbierende, die in den gegenüberliegenden Punkt gehen, berechnen. Dazu möchte ich gerne einen geschlossenen Vektorzug nutzen. Um das Ganze zu verdeutlichen habe ich ein Bild angehängt.
[Externes Bild http://www.img-host.de/bild.php/47219,untitled6W6JB.png] |
Mein Vorgehen:
Ich habe das gelb markierte Dreieck (s. Bild) als Vektorzug gewählt.
so ergibt sich:
[mm] \overrightarrow{AG} [/mm] + [mm] \overrightarrow{GE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{EA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{o}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AG} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] * r = [ [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{b} [/mm] ] * r (da Seitenhalbiernde)
[mm] \overrightarrow{GE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] * s = [ [mm] \overrightarrow{-a} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{d} [/mm] ] * s
[mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = 1/2 [mm] \overrightarrow{d}
[/mm]
=> [mm] \overrightarrow{o} [/mm] = [ [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{b} [/mm] ] * r + [ [mm] \overrightarrow{-a} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{d} [/mm] *s ] + 1/2 [mm] \overrightarrow{d}
[/mm]
ausmultipliziert und ausgeklammert :
a (r -s) + 1/2 br + 1/2d (s+1)
Da die Vektoren a b und d linear unabhängig sind, kann der Nullvektor nur zustande kommen wenn der Klammerinhalt 0 ist also:
r-s=0
r=0
s+1=0
=> 1=0
Wie ihr seht, komme ich so nicht weiter. Wo ist mein Fehler? Wie komme ich weiter?
Besten Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 21.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich möchte in einem beliebigen Trapez ABCD die
> Teilungsverhältnisse durch zwei Seitenhalbierende, die in
> den gegenüberliegenden Punkt gehen, berechnen. Dazu
> möchte ich gerne einen geschlossenen Vektorzug nutzen.
Möchtest du oder musst du?
Mit Mitteln der Klasse 8 kann man sofort feststellen, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis a:m teilen. Dabei ist m die Länge der Mittelparallelen, also [mm] \bruch{a+c}{2}.
[/mm]
Gruß Abakus
> Um
> das Ganze zu verdeutlichen habe ich ein Bild angehängt.
>
>
> [Externes Bild http://www.img-host.de/bild.php/47219,untitled6W6JB.png]
> Mein Vorgehen:
>
> Ich habe das gelb markierte Dreieck (s. Bild) als Vektorzug
> gewählt.
>
> so ergibt sich:
>
>
> [mm]\overrightarrow{AG}[/mm] + [mm]\overrightarrow{GE}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{EA}[/mm] = [mm]\overrightarrow{o}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AG}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AF}[/mm] * r = [
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] + 1/2 [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ] * r (da
> Seitenhalbiernde)
> [mm]\overrightarrow{GE}[/mm] = [mm]\overrightarrow{BE}[/mm] * s = [
> [mm]\overrightarrow{-a}[/mm] + 1/2 [mm]\overrightarrow{d}[/mm] ] * s
> [mm]\overrightarrow{DA}[/mm] = 1/2 [mm]\overrightarrow{d}[/mm]
>
> => [mm]\overrightarrow{o}[/mm] = [ [mm]\overrightarrow{a}[/mm] + 1/2
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ] * r + [ [mm]\overrightarrow{-a}[/mm] + 1/2
> [mm]\overrightarrow{d}[/mm] *s ] + 1/2 [mm]\overrightarrow{d}[/mm]
>
> ausmultipliziert und ausgeklammert :
>
> a (r -s) + 1/2 br + 1/2d (s+1)
>
>
> Da die Vektoren a b und d linear unabhängig sind, kann der
> Nullvektor nur zustande kommen wenn der Klammerinhalt 0 ist
> also:
>
> r-s=0
> r=0
> s+1=0
>
> => 1=0
>
>
> Wie ihr seht, komme ich so nicht weiter. Wo ist mein
> Fehler? Wie komme ich weiter?
>
> Besten Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Eher wollen müssen ;)
Ich bereite mich auf eine Klasur vor und übe in diesem Rahmen verschiedene mögliche Problemstellungen zum Berechnen von Teilungsverhältnissen mittels Vektoren.
Mit dem obigen Verfahren habe ich keine Probleme solange es zwei offensichtliche Basisvektoren gibt. (Dreiecke, Parallelogramme)
Wenn mehr als zwei Vektoren ins Spiel kommt, scheint es aber zu scheitern wie man oben sieht. Irgendeine Idee?
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Guten Abend,
ja, schon eine Idee. 
Mal abgesehen von leduarts berechtigten Hinweisen (z.B. zu [mm] \vec{d}, [/mm] aber auch zum Bild), hast Du eine falsche Folgerung in Deinem Ansatz:
> Da die Vektoren a b und d linear unabhängig sind, kann der Nullvektor
> nur zustande kommen wenn der Klammerinhalt 0 ist
Im Gegenteil. Wenn jeder der Faktoren Null ist, hast Du die immer existierende triviale Lösung. Dass die Vektoren aber linear unabhängig sind, bedeutet, dass es darüber hinaus eine weitere Lösung gibt, logischerweise allerdings parameterbehaftet: wenn z.B. [mm] \vec{a}+\vec{b}-2\vec{d}=\vec{0} [/mm] wahr ist, dann ist natürlich auch [mm] k\vec{a}+k\vec{b}-2k\vec{d}=k\vec{0}=\vec{0}.
[/mm]
Wenn Deine Vektoren also erstmal stimmen, solltest Du an der Stelle nochmal ansetzen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Moment, ich hatte gedacht: Da die Vektoren [mm] \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{d} [/mm] unabhängig sind, müssen, damit sich als Ergebnis der Nullvektor ergibt, alle "Klammern", sag ich jetzt mal so, Null ergeben, sodass ich hier eine einfache MAtrix bekomme. Ist denn dem nicht so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in einer Ebene kannst du nie 3 lin unabh. Vektoren haben, du siehst ja in der Zeichng dass du aus 2 davon den dritten machen kannst.
Wo hast du benutz, dass das ein Trapez ist? Da fehlt doch noch was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Ja, daran hatte ich auch kurz gedacht. Die Seiten b und d sind ja gleich lang in diesem Trapez (wobei das ja nicht so sein muss) aber haben nicht die gleiche Richtung.
und dann dachte ich mir noch, der [mm] \overrightarrow{c} [/mm] ist etwas kritisch, weil er nicht unabhängig ist zu [mm] \overrightarrow{a} [/mm]
gib mir mal nen Tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tip hatte ich schon! du hast bisher nicht benutzt, dass du ein Trapez hast. daraus kriegst du ne zweite Gl. für r,s
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Jetzt bin ich ganz schön am Rätseln ;) Ich muss mir also irgendeine der Eigenschaften eins Trapezes zu Nutze machen um einen Vektor aus meiner Gleichung (wohl [mm] \overrightarrow{d} [/mm] durch einen Kombination der beiden Basisvektoren zu ersetzen?
Aber sind denn [mm] \overrightarrow{d} \overrightarrow{b}\overrightarrow{a} [/mm] nicht linh. unabh.? Ich mein, die zeigen doch alle in andere Richtungen?
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Hallo nochmal,
> Jetzt bin ich ganz schön am Rätseln ;) Ich muss mir also
> irgendeine der Eigenschaften eins Trapezes zu Nutze machen
> um einen Vektor aus meiner Gleichung (wohl
> [mm]\overrightarrow{d}[/mm] durch einen Kombination der beiden
> Basisvektoren zu ersetzen?
Ja, zum Beispiel.
> Aber sind denn [mm]\overrightarrow{d} \overrightarrow{b}\overrightarrow{a}[/mm]
> nicht linh. unabh.? Ich mein, die zeigen doch alle in
> andere Richtungen?
Dann sind sie nur nicht kollinear. Aber wie Deine Zeichnung zeigt, ist jeder davon durch die beiden andern darzustellen. Also sind sie linear abhängig.
Das scheint mir überhaupt das Konzept zu sein, dass Du am ganzen noch nicht verstanden hast. Schau nochmal nach, was Ihr dazu gelernt habt oder lernen solltet.
In einer Ebene können z.B. maximal zwei Vektoren voneinander linear unabhängig sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Jetzt komme ich leider überhaupt nicht mehr weiter:
Du schreibst "Dann sind sie nur nicht kollinear. Aber wie Deine Zeichnung zeigt, ist jeder davon durch die beiden andern darzustellen. Also sind sie linear abhängig."
Aber zwei Vektoren die nicht kollinear sind, sind doch automatisch auch linh. unabhängig, will heißen: hier ist Kollinearität gleichbedeutend mit linearer Abhängigkeit oder etwa nicht?
Linh. abhängig könnten sie doch nur sein, wenn sie auf einer Geraden wären, und das sind doch die drei gennanten Vektoren nicht?
Wie kann ich denn dann aus zwei dieser Vektoren den Dritten herstellen? Vielleicht ist es ja offensichtlich - aber ich bin der Lösung leider noch keinen Schritt näher gekommen.
Auch wenn ich akzeptiere, dass ich einen der Vektoren ersetzen muss durch eine Kombination der anderen beiden, erschließt sich mir noch nicht wie.
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Hallo Selaiah,
nimm mal ein gewöhnliches Dreieck und stell die Seiten durch Vektoren dar. Dann ist jeder dieser Vektoren durch die beiden anderen darstellbar. Wenn Du nur zwei davon betrachtest, sind sie linear unabhängig (es sei denn, das Dreieck ist entartet). Wenn Du drei betrachtest, sind sie notwendig linear abhängig.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Ja, soweit verstehe ich was du meinst. Nun in wie weit hilft mir das bei der Aufgabe? Ein Trapez besteht aus 4 Dreiecken, aber..?
EDIT: ALso ich habe mich nocheinmal drangesetzt.
Hier nochmal eine neue Zeichnung [Dateianhang nicht öffentlich]
Nun ergibt sich: [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] + [mm] \overrightarrow{DS} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{DS} [/mm] = [mm] \overrightarrow{DB} [/mm] * r = ( [mm] \overrightarrow{-b} [/mm] + [mm] \overrightarrow{a} [/mm] ) * r
[mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{SB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{DB} [/mm] * s - [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = [ [mm] \overrightarrow{-b} [/mm] + [mm] \overrightarrow{a} [/mm] ] * s - [mm] \overrightarrow{a}
[/mm]
ausgeklammert und ausgerechnet: b ( 1-r-s) + a (-1+s+r)
-r -s = -1
s+r = 1
Die Matrix ist also unterbestimmt. Heißt das nun für mich: Das Teilungsverhältnis lässt sich überhaupt gar nicht für beliebige Trapeze ausrechnen und die Aufgabe ist so nicht lösbar, oder habe ich noch etwas übersehen?
Danke für die Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die neue Zeichnung ist nicht hilfreich, weil dein S nichts mit dem alten G zu tun hat.
du musst ausnutzen, dass c=DC parallel zu a=AB ist, daraus hast du schnell, dass auch m=FE parallel zu a ist mit Länge (a+c)/2
Dann bist du wieder in deiner alten Zeichnung. wo du ja r und s bestimmen willst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Hier nochmal eine neue Zeichnung mit den neuen Erkenntnissen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt ergibt sich:
[mm] \overrightarrow{EG} [/mm] + [mm] \overrightarrow{GF} [/mm] + [mm] \overrightarrow{FE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{FE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{m} [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{GF} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] * r = ( [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{b} [/mm] ) * r
[mm] \overrightarrow{EG} [/mm] = ( [mm] \overrightarrow{m} [/mm] - 1/2b ) * s = ( [mm] \bruch{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2} [/mm] - 1/2 [mm] \overrightarrow{b} [/mm] ) * s
Jetzt habe ich aber wieder drei Vektoren, nämlich [mm] \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c}
[/mm]
Inwiefern bringt mich das denn weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Selaiah,
> Hier nochmal eine neue Zeichnung mit den neuen
> Erkenntnissen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Jetzt ergibt sich:
>
> [mm]\overrightarrow{EG}[/mm] + [mm]\overrightarrow{GF}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{FE}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{FE}[/mm] = [mm]\overrightarrow{m}[/mm] =
> [mm]\bruch{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{GF}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AF}[/mm] * r = (
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] + 1/2 [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ) * r
> [mm]\overrightarrow{EG}[/mm] = ( [mm]\overrightarrow{m}[/mm] - 1/2b ) * s
> = ( [mm]\bruch{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}[/mm] -
> 1/2 [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ) * s
>
> Jetzt habe ich aber wieder drei Vektoren, nämlich
> [mm]\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{c}[/mm]
>
> Inwiefern bringt mich das denn weiter?
Der Vektor [mm]\overrightarrow{c}[/mm] ist parallel zum Vektor [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und hat die gleiche Richtung.
Demnach [mm]\overrightarrow{c}=\mu*\overrightarrow{a}, \ \mu > 0[/mm]
Dann kannst Du die lineare Unabhängigkeit der Vektoren
[mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ausnutzen.
Daraus ergibt sich dann ein Gleichungssystem,
woraus sich die Unbekannten ermitteln lassen.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Fr 22.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo geht ein, dass a und d parallel sind? kannst du den Strahlensatz r/s=m/a mit Vektoren zeigen?
ausserdem hattest du ja noch ne gleichung im 1. Post natürlich musst bzw kannst du die auch verwenden.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich das sehe, liegt es an dem [mm] \vec{d} [/mm] der einmal von A nach C gerichtet ist hier :$ [mm] \overrightarrow{GE} [/mm] $ = $ [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] $ * s = [ $ [mm] \overrightarrow{-a} [/mm] $ + 1/2 $ [mm] \overrightarrow{d} [/mm] $ ] * s
und hier umgekehrt: $ [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] $ = 1/2 $ [mm] \overrightarrow{d} [/mm] $
du meinst wohl
[mm] \overrightarrow{EA}
[/mm]
Es wär bequemer, du hättest dein ja selbst gemachtes Bild hier, möglichst nur 1/2 so gross direkt reingestellt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 21.10.2010 | | Autor: | Selaiah |
Ja es muss natürlich [mm] \overrightarrow{EA} [/mm] heißen und dann ist der Vektor logischerewise [mm] \overrightarrow{-1/2d}
[/mm]
Das Problem bleibt aber leider.
a(s-r) + 1/2bs + d(r-1/2)
s-r=0
s=0
r-1/2=0
=> -1/2=0
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