Teilraum des R3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Handelt es sich bei [mm] $T=\{ (x,y,z)^T \in \IR^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\}
[/mm]
um einen Teilraum des [mm] \IR^3? [/mm] |
Also ich weiß jetzt nicht, ob man hier einen Unterschied zwischen Unterraum und Teilraum macht. Ich sehe gerade, wir haben auch von Teilräumen bei solchen Aufgaben gesprochen, also ist Teilraum wohl hier richtig.
So normalerweise hätte ich jetzt dem Fragenden gesagt: NEIN, es ist kein Teilraum, denn die Addition ist nicht erfüllt, also mit [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T \in [/mm] T$ und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)^T \in [/mm] T$ folgt: aber [mm] (x+y)=$(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)^T \Rightarrow (x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2+(x_3+y_3)^2=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+x_2^2+2x_2y_2+y_2^2+x_3^2+2x_3y_3+y_3^2 \gdw 2x_1y_1+2x_2y_2+2x_3y_3 \neq [/mm] 0 (?)$
Demnach ist dies ja nicht gleich 0, denn ich kann über die Terme nichts aussagen. Schaut man aber jetzt die Bedingung scharf an, sieht man natürlich sofort, dass diese Gleichung nur für einen einzigen Vektor, nämlich [mm] (0,0,0)^T [/mm] erfüllt sein kann. Mit diesem Wissen kann ich natürlich sagen, da das einzige Element von T={0} ist, ist T natürlich ein Teilraum des [mm] \IR^3, [/mm] denn dann verschwinden auch meine Mischterme aus den binomischen Formeln oben. ABER die Frage ist jetzt, die mir gestellt wurde, darf man das? Bzw. ist die erste, rein formale Antwort: Nein, es ist kein Teilraum, weil die Mischterme von 0 verschieden sind, solange ich nicht weiß, dass x,y=0 gilt, falsch?. Wahrscheinlich kann man aber die Mischterme noch irgendwie geschickter umschreiben...
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> Handelt es sich bei [mm]$T=\{ (x,y,z)^T \in \IR^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\}[/mm]
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> um einen Teilraum des [mm]\IR^3?[/mm]
> So normalerweise hätte ich jetzt dem Fragenden gesagt:
> NEIN, es ist kein Teilraum, denn die Addition ist nicht
> erfüllt, also mit [mm]x=(x_1,x_2,x_3)^T \in T[/mm] und
> [mm]y=(y_1,y_2,y_3)^T \in T[/mm] folgt: aber
> (x+y)=[mm](x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)^T \Rightarrow (x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2+(x_3+y_3)^2=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+x_2^2+2x_2y_2+y_2^2+x_3^2+2x_3y_3+y_3^2 \gdw 2x_1y_1+2x_2y_2+2x_3y_3[/mm]
>
> Demnach ist dies ja nicht gleich 0, denn ich kann über die
> Terme nichts aussagen.
Hallo,
wenn Deine Überlegungen so weit gediehen sind, würdest Du ein konkretes Zahlenbeispiel suchen und damit vorrechnen, daß aus [mm] x,y\in [/mm] T nicht unbedingt [mm] x+y\in [/mm] T folgt. Damit hättest Du "Teilraum" widerlegt.
Bloß: Du würdest kein solches Zahlenbeispiel zum Widerlegen finden,
denn
> Schaut man aber jetzt die Bedingung
> scharf an, sieht man natürlich sofort, dass diese
> Gleichung nur für einen einzigen Vektor, nämlich
> [mm](0,0,0)^T[/mm] erfüllt sein kann. Mit diesem Wissen kann ich
> natürlich sagen, da das einzige Element von T={0} ist, ist
> T natürlich ein Teilraum des [mm]\IR^3,[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
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Danke angela, so hatte ich auch argumentiert, nur mein Gegenüber war darüber sauer, weil er sagt, dass ich die Lösung des Raumes dann schon voraussetze und zur Beantwortung nutze. Vielleicht kann ich so argumentieren: Was mir bis eben nicht klar bzw. von mir nicht richtig gesagt wurde: Ich kann ohne Kenntnis einer oder alle Lösungen vorerst weder bestätigen noch widerlegen, dass T ein Teilraum ist, denn ich weiß ja nur, dass die Mischterme gleich 0 sein müssen. Solange ich über die einzelnen Komponenten nichts weiß, kann ich weder behaupten, es sei ein Teilraum noch es sei keiner.
Im zweiten Schritt kann ich mir dann die Überlegung zunutze machen, dass nur 0 eine Lösung ist, aber ich will das wirklich formal wissen: Wenn ich es NICHT könnte bzw wenn ich einfach nicht darauf käme und es nur formal überlegen wöllte. Dann ist meine Behauptung von oben, dass die Mischterme ungleich 0 sind, ja auch nicht korrekt, denn dazu müsste ich fordern, dass x,y ungleich 0 sind. Also wäre doch eigentlich die richtige Antwort: Weiß man nicht um eine Lösung von T, so kann man formal in dieser Aufgabe weder bestätigen noch widerlegen, dass T ein Teilraum des R3 ist, oder?
Ich frage vielleicht deshalb so pedantisch, weil es für die meisten Aufgaben diesen Types formal ohne Kenntnis der Lösung bzw. rechnerische Überprüfung ja möglich ist, eine Aussage zu verifizieren oder zu falsifizieren. Also allein mit der Bedingung kann ich oftmals Additivität und skalare Vielfache ja formal überprüfen, nur hier klappt das nicht ;)
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moin,
Was mir an diesem Term auffällt:
[mm] $2x_1y_1 [/mm] + [mm] 2x_2y_2 [/mm] + [mm] 2x_3y_3$
[/mm]
Dies ist offensichtlich das Standardskalarprodukt auf [mm] $\IR$ [/mm] (mal 2^^).
Wenn man bedenkt, dass dies gleich 0 sein soll, dann würde das heißen, dass alle Vektoren in dem (potentiellen) Unterraum orthogonal aufeinander stehen.
Aus dieser Tatsache lässt sich (auch ohne vorherige Kenntnis) aber leicht folgern, dass es sich bei T um den Nullraum handeln muss (oder aber dass T kein Unterraum ist).
Damit hast du zumindest eine ernst zu nehmende Begründung, wieso du auf die Idee kommst T könnte der Nullraum sein und dein Gegenüber wird wohl hoffentlich nichts mehr dagegen einzuwenden haben, wenn du in diese Richtung überlegst.
MfG
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 So 11.09.2011 | | Autor: | gnom347 |
Ich verstehe erlichgesagt dein problem nicht so richtig du kannst doch nachweisen das T eine Menge ist die nur aus dem Nullvektor besteht und dan zeigen, das diese Menge ein Teilraum ist.
$ [mm] $T=\{ (x,y,z)^T \in \IR^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\} [/mm] $
Wenn nun 1) [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2=0
[/mm]
und 2) [mm] x_1^2\ge0 [/mm] , [mm] x_2^2\ge0 [/mm] , [mm] x_3^2\ge0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=0 [/mm] , [mm] x_2=0 [/mm] , [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] T={ (0,0,0)}
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Adamantin |
Erst einmal Danke an Shadowmaster, die Antwort gefällt mir sehr gut, obwohl ich so viele Standardskalarprodukte hier sehe, ist mir das nicht ins Auge gefallen ;)
> Ich verstehe erlichgesagt dein problem nicht so richtig du
> kannst doch nachweisen das T eine Menge ist die nur aus dem
> Nullvektor besteht und dan zeigen, das diese Menge ein
> Teilraum ist.
> $ [mm]$T=\{ (x,y,z)^T \in \IR^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\}[/mm] $
>
> Wenn nun 1) [mm]x_1^2+x_2^2+x_3^2=0[/mm]
> und 2) [mm]x_1^2\ge0[/mm] , [mm]x_2^2\ge0[/mm] , [mm]x_3^2\ge0[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_1=0[/mm] , [mm]x_2=0[/mm] , [mm]x_3=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] T={ (0,0,0)}
Ich habe ja auch kein Problem mit der Aufgabe! ;) Es geht darum, dass jemand, zurecht, nur die Kriterien anwenden wollte und dann das Problem hat, dass er auf Mischterme bei der Additivität stößt und die lauten eben 2<x,y>. Deine Argumentation ist die, dich ich und angela schon längst erbracht hatten, nämlich dass nur 0 als Element der Lösungsmenge in Frage kommt, das stellt ja auch niemand in Frage und deine Variante ist auch nochmal sehr übersichtlich. Aber es erfordert eben eine gesonderte Betrachtung der Lösungsmenge und man müsste die Komponenten einzeln betrachten und eben erst einmal die Überlegung [mm] x_1^2\ge0 [/mm] anstellen. Und da war eben die Überlegung, ob dies notwendig ist ;). Ihr dreht euch ja alle mit mir im Kreis, indem sowohl Shadowmaster als auch du die Gleichungen weiter bearbeitet und Schlüsse daraus zieht (was man als Mathematiker ja auch durchaus machen sollte). Ich konnte ihm nur eben nichts gescheites entgegenhalten als er gesagt hat, er wolle ja gar nicht die Lösung weiter untersuchen, sondern eben nur die Kriterien anwenden und da wäre bei der Addition eben ein Problem aufgetreten in Form der Mischterme ;). Also danke für die Antworten, es ist so wie ich vermutet habe: Die Form alleine gibt keinen Aufschluss, man muss hier zwangsweise einen Schritt weitergehen und über die Lösung in irgendeiner Form nachdenken. Darum gings mir.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:17 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Adamantin |
> moin,
>
> Was mir an diesem Term auffällt:
>
> [mm]2x_1y_1 + 2x_2y_2 + 2x_3y_3[/mm]
>
> Dies ist offensichtlich das Standardskalarprodukt auf [mm]\IR[/mm]
> (mal 2^^).
Das ist wahr und wie bereits von mir im letzten Post erwähnt, ein gutes Argument. Nur fällt es mir dann wie Schuppen aus den Augen: [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2 [/mm] ist dann ja wohl nichts anderes als <x,x>=x^Tx und das wiedderum ist dann ja wohl die euklidische Norm zum Quadrat. Demzufolge ist T die Menge der Vektoren mit dem Abstand 0. Da ist es auch schwierig, die Lösung zu erraten ;) Aber wie ebenfalls bereits von mir gesagt, uns macht es Spaß über diese Lösung nachzudenken und jetzt haben wir schon 4-5 Wege dafür!! Wahnsinn ;) Aber meine Person wollte überhaupt nicht über die Lösungsmenge nachdenken ;) Aber Danke für eure Antworten
> Wenn man bedenkt, dass dies gleich 0 sein soll, dann
> würde das heißen, dass alle Vektoren in dem
> (potentiellen) Unterraum orthogonal aufeinander stehen.
> Aus dieser Tatsache lässt sich (auch ohne vorherige
> Kenntnis) aber leicht folgern, dass es sich bei T um den
> Nullraum handeln muss (oder aber dass T kein Unterraum
> ist).
> Damit hast du zumindest eine ernst zu nehmende
> Begründung, wieso du auf die Idee kommst T könnte der
> Nullraum sein und dein Gegenüber wird wohl hoffentlich
> nichts mehr dagegen einzuwenden haben, wenn du in diese
> Richtung überlegst.
>
> MfG
>
> Schadowmaster
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> Danke angela, so hatte ich auch argumentiert, nur mein
> Gegenüber war darüber sauer, weil er sagt, dass ich die
> Lösung des Raumes dann schon voraussetze und zur
> Beantwortung nutze.
Hallo,
was soll die "Lösung des Raumes" sein?
Die Elemente, die in T sind?
Paßt es dem sauren Bekannten nicht, daß man ausnutzt, daß die Menge T sehr klein ist?
Ich find's recht angebracht, sich vorm Rechnen die Menge mal anzuschauen. Wär ja auch bekloppt, wenn man stundenlang rumrechnet, sich freut, daß es ein Teilraum ist, und die Menge ist in Wahrheit leer!
Also mal ganz ehrlich: man wäre doch schön blöd, großartig rumzurechnen, tolle Schlüsse mit Skalarprodukten zu machen und dgl. mehr, wenn doch sofort klar ist, daß die Menge nur ein Element, die Null, enthält.
(Wenn ich einen einzigen Gast bekomme, überlege ich doch auch nicht, in welchem Topf ich Tomatensuppe für 200 Personen kochen soll.)
> Vielleicht kann ich so argumentieren:
> Was mir bis eben nicht klar bzw. von mir nicht richtig
> gesagt wurde: Ich kann ohne Kenntnis einer oder alle
> Lösungen vorerst weder bestätigen noch widerlegen, dass T
> ein Teilraum ist, denn ich weiß ja nur, dass die
> Mischterme gleich 0 sein müssen. Solange ich über die
> einzelnen Komponenten nichts weiß, kann ich weder
> behaupten, es sei ein Teilraum noch es sei keiner.
Behaupten kannst Du alles!
Bloß in der Mathematik muß ein Beweis folgen...
Du kannst behaupten: T ist kein Teilraum.
Das Widerlegen einer Aussage geschieht durch ein einziges Gegenbeispiel.
An der Suche nach einem Beispiel, welches "Teilraum" widerlegt, scheitert man.
(Nun gibt es zwei Möglichkeiten: entweder man ist zu dumm ein Gegenbeispiel zu finden, oder es gibt kein Gegenbeispiel.)
An dieser Stelle kann man in der Tata noch keine Entscheidung über die Richtigkeit der Aussage treffen.
Du kannst behaupten: T ist ein Teilraum.
Dann mußt Du u.a. zeigen, daß [mm] (x,y\in [/mm] T ==> [mm] x+y\in [/mm] T) wirklich für alle Elemente x,y [mm] \in [/mm] T gilt.
Damit sind wir wieder an dem Punkt, der Deinem Bekannten nicht gefällt: wir stellen fest, daß es genau ein Element in T gibt.
Wenn man dies nicht bemerkt, dann sieht es mit dem Beweisen der Aussage ebenso schlecht aus wie mit dem Widerlegen.
Gruß v. Angela
P.S.:
Im Übrigen finde ich die Argumentation übers Skalarprodukt ziemlich aufgebauscht.
Die Idee hierbei war ja:
wenn für alle [mm] x,y\in [/mm] T die Summe x+y in T liegt, dann ist das Skalarprodukt <x,y> sämtlicher Elemente aus T die reelle Zahl 0.
Also enthält T nur den Nullvektor. (Wieso das so ist, müßte auch noch begründet werden.) Nun folgt der Schluß: T ist Unterraum.
Ohne Skalarprodukt: sei [mm] x\in [/mm] T ==> [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 [/mm] ==> x=0.
Und weil in der Tat Teilraum. Hier benötigt man nur das Rechnen in reellen Zahlen.
> Im zweiten Schritt kann ich mir dann die Überlegung
> zunutze machen, dass nur 0 eine Lösung ist, aber ich will
> das wirklich formal wissen: Wenn ich es NICHT könnte bzw
> wenn ich einfach nicht darauf käme und es nur formal
> überlegen wöllte. Dann ist meine Behauptung von oben,
> dass die Mischterme ungleich 0 sind, ja auch nicht korrekt,
> denn dazu müsste ich fordern, dass x,y ungleich 0 sind.
> Also wäre doch eigentlich die richtige Antwort: Weiß man
> nicht um eine Lösung von T, so kann man formal in dieser
> Aufgabe weder bestätigen noch widerlegen, dass T ein
> Teilraum des R3 ist, oder?
>
> Ich frage vielleicht deshalb so pedantisch, weil es für
> die meisten Aufgaben diesen Types formal ohne Kenntnis der
> Lösung bzw. rechnerische Überprüfung ja möglich ist,
> eine Aussage zu verifizieren oder zu falsifizieren. Also
> allein mit der Bedingung kann ich oftmals Additivität und
> skalare Vielfache ja formal überprüfen, nur hier klappt
> das nicht ;) und keinen Apparat von irgendwas.
> Im zweiten Schritt kann ich mir dann die Überlegung
> zunutze machen, dass nur 0 eine Lösung ist, aber ich will
> das wirklich formal wissen: Wenn ich es NICHT könnte bzw
> wenn ich einfach nicht darauf käme und es nur formal
> überlegen wöllte. Dann ist meine Behauptung von oben,
> dass die Mischterme ungleich 0 sind, ja auch nicht korrekt,
> denn dazu müsste ich fordern, dass x,y ungleich 0 sind.
> Also wäre doch eigentlich die richtige Antwort: Weiß man
> nicht um eine Lösung von T, so kann man formal in dieser
> Aufgabe weder bestätigen noch widerlegen, dass T ein
> Teilraum des R3 ist, oder?
>
> Ich frage vielleicht deshalb so pedantisch, weil es für
> die meisten Aufgaben diesen Types formal ohne Kenntnis der
> Lösung bzw. rechnerische Überprüfung ja möglich ist,
> eine Aussage zu verifizieren oder zu falsifizieren. Also
> allein mit der Bedingung kann ich oftmals Additivität und
> skalare Vielfache ja formal überprüfen, nur hier klappt
> das nicht ;)
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Um mal einen Versuch zu wagen aus dem Kreis, in dem wir uns drehen, auszubrechen:
Nein, es ist nicht möglich allgemein zu zeigen, dass T ein Unterraum ist, ohne die Struktur/den Inhalt/die Elemente von T zu berücksichtigen.
Wie ja oben gesehen führt der Standardansatz zu "T ist Nullraum oder kein Unterraum."
Das Problem ist hier eben, dass T der Nullraum ist.
Und dieser unterscheidet sich so stark von allen anderen Unterräumen (endlich, etc.), dass der Beweis diese Besonderheiten benutzen muss.
Ich weiß natürlich, dass es sehr gefährlich ist zu sagen es sei definitiv nicht möglich und es mag durchaus sein, dass es irgend einen Weg gibt den Beweis zu führen ohne die Tatsache zu benutzen, dass T der Nullraum ist.
Aber wie gesagt unterscheidet sich der Nullraum eben so drastisch von allen anderen Unterräumen, dass man (meiner Meinung nach) bei einem Beweis nicht drum herum kommt festzustellen, dass T der Nullraum ist.
In der Hoffnung damit den Kreis kaputt zu hauen.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Adamantin |
Danek euch beiden für die erneute Beantwortung meiner Frage, angela hat ja auch völlig recht, in der Mathematik geht es ja meiner Meinung nach nicht darum, Kriterien anzuwenden, sondern mit Klugheit diese anzuwenden ;) Also eigentlich hätte man die Lösung bzw. das Nachdenken über eine Lösung VOR das Anwenden der Kriterien stellen müssen ;)
Danke auch nochmal an den letzten post von angela, der einige wichtige Dinge beinhaltet hat. In der Tat habe ich ja auch zuerst gesehen: Hm Summe aus positiven Zahlen soll 0 werden...au weia, das wird doch wohl nicht...doch ist es ;)
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