Teilräume eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
| Aufgabe | Seien A, B und C Teilraüme eines Vektorraumes V.
(a) Zeige, dass, falls C [mm] \subset [/mm] A, die folgende Gleichung von Teilräumen gilt:
A [mm] \cap [/mm] (B + C) = (A [mm] \cap [/mm] B) + C.
(b) Prüfe, ob die Verteilungsgesetze
(i) A [mm] \cap [/mm] (B + C) = (A [mm] \cap [/mm] B) + (A [mm] \cap [/mm] C)
(ii) A + (B [mm] \cap [/mm] C) = (A + C) [mm] \cap [/mm] (A + C)
allgemein gelten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich weiß leider nicht, wie man solche Gleichungen zeigen kann. Ich könnte zwar ausformulieren warum zB die Gleichung aus (a) stimmen muss, ich glaube aber nicht, dass die Aufgabe somit ausreichend gelöst wär!
Hoffe, jemand kann mir erklären, wie ich bei solchen Aufgaben vorzugehen habe!
Danke im Voraus!!!
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Guten Abend
Mit Teilräume meinst du wohl Unterräume. Also sei C [mm] \subset [/mm] A.
Sei nun x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B+C). Generell nimmt man sich ein beliebiges!!!!!! Element was in der Linken menge ist und versucht zu zeigen dass es auch in der Rechten menge enthalten ist.
Also sei x beliebig wie oben gewählt dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x = b+c weil x [mm] \in [/mm] B+C. Dann ist b = x- c (-c existiert weil C ein Unterraum, also selber ein Vektorraum ist). Wenn C [mm] \subset [/mm] A was heißt das dann für b? (Stichwort abgeschlossenheit von Unterräumen). Es folgt dann die Behauptung für die rechte Seite.
Bei der zweiten Aufgabe musst du schauen ob es dir gelingt Gegenbeispiele zu konstruieren. Denn dann gelten die Aussagen nicht allgemein. Immer mit möglichst kleinen Mengen probieren. Wenn es nicht geht, dann versuchen zu beweisen, mit der selben methode wie oben.
Einen schönen Abend noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Denke, dass ich die Aufgaben mit den Tipps nun lösen kann!
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