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Teilräume diskreter Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Do 09.05.2013
Autor: sissile

Aufgabe
Warum sind Teilräume diskreter Räume diskret ?
Ist das genauso bei der chaotischen Topologie( [mm] \tau=\{ X, \emtyset\}? [/mm]

Hallo,
Ich weiß im diskreten raum ist jede Teilmenge offen.
(X, [mm] \tau) [/mm] topologischer Raum, (A, [mm] \tau_A) [/mm] top. Teilraum. Dann H [mm] \subseteq [/mm] A :  H offen in A (bzgl. [mm] \tau_A) [/mm] <=> [mm] \exists [/mm] G offen (bzgl [mm] \tau) [/mm] in X: H = G [mm] \cap [/mm] A

Aber wie erklärt sich die Behauptung?


Liebe Grüße

        
Bezug
Teilräume diskreter Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:49 Fr 10.05.2013
Autor: tobit09

Hallo sissile,


> Warum sind Teilräume diskreter Räume diskret ?

Sei X ein diskreter topologischer Raum, A ein Teilraum von X.

Zu zeigen: A diskret, d.h. für alle [mm] $H\subseteq [/mm] A$ ist $H$ offen in $A$.

Sei also [mm] $H\subseteq [/mm] A$.

Gesucht ist eine Teilmenge [mm] $G\subseteq [/mm] X$ offen in $X$ mit [mm] $G\cap [/mm] A=H$.

Betrachte mal $G:=H$.


>  Ist das genauso bei der chaotischen Topologie( [mm]\tau=\{ X, \emtyset\}?[/mm]

Ja.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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