Teilmengen und Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Nyx |
| Aufgabe 1 | Sei V ein endlich-erzeugter Vektorraum und sei [mm] X$\subsetneqq$Y$\subseteq$V. [/mm] Dann gilt im Allgemeinen:
Ist Y linear abhängig, so ist auch X linear abhängig.
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| Aufgabe 2 | | Ist X eine Basis von V, so ist auch Y eine Basis von V. |
| Aufgabe 3 | | Ist X ein Erzeugendensystem von V, so ist auch Y ein Erzeugendensystem von V. |
| Aufgabe 4 | | Ist Y linear unabhängig, so ist auch X linear unabhängig. |
Hey Leute,
man soll entscheiden, ob das Aussage wahr oder falsch ist. Bei Aufgabe 1 steht eine Vorraussetzung "Sei V ein endlich-erzeugter Vektorraum und sei [mm] X$\subsetneqq$Y$\subseteq$V. [/mm] Dann gilt im Allgemeinen:", die für alle Aufgaben gilt.
Unsere Notation ist, dass [mm] $\subseteq$ [/mm] Teilmenge bedeutet und [mm] $\subsetneqq$ [/mm] bedeutet Teilmenge wobei X und Y ungleich sind. (Nur so am Rande)...;)
Ich bin soweit gekommen, dass Aufgabe 1 wahr ist, da wenn Y linear abhängig ist und X Teilmenge von Y ist, auch X linear abhängig ist.
Analoges würde ich bei Aufgabe 4 sagen.....Bin mir allerdings absolut nicht sicher..
Aufgabe 2 ist für mich auch wahr, da wenn X linear unabhängig und eine Basis ist, auch Y linear unabhängig und Basis von V ist.
Aufgabe 3 hab ich noch nicht wirklich eine Lösung..
Wäre über Hilfe und Verbesserungen sehr dankbar..
Mfg Nyx
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> Sei V ein endlich-erzeugter Vektorraum und sei
> X[mm]\subsetneqq[/mm]Y[mm]\subseteq[/mm]V. Dann gilt im Allgemeinen:
> Ist Y linear abhängig, so ist auch X linear abhängig.
>
> Ist X eine Basis von V, so ist auch Y eine Basis von V.
> Ist X ein Erzeugendensystem von V, so ist auch Y ein
> Erzeugendensystem von V.
> Ist Y linear unabhängig, so ist auch X linear unabhängig.
> Hey Leute,
>
> man soll entscheiden, ob das Aussage wahr oder falsch ist.
> Bei Aufgabe 1 steht eine Vorraussetzung "Sei V ein
> endlich-erzeugter Vektorraum und sei
> X[mm]\subsetneqq[/mm]Y[mm]\subseteq[/mm]V. Dann gilt im Allgemeinen:", die
> für alle Aufgaben gilt.
> Unsere Notation ist, dass [mm]\subseteq[/mm] Teilmenge bedeutet und
> [mm]\subsetneqq[/mm] bedeutet Teilmenge wobei X und Y ungleich sind.
> (Nur so am Rande)...;)
>
> Ich bin soweit gekommen, dass Aufgabe 1 wahr ist, da wenn Y
> linear abhängig ist und X Teilmenge von Y ist, auch X
> linear abhängig ist.
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Dir wichtige Dinge fehlen, die in der Vorlesung dran waren.
Über 1) solltest Du erneut nachdenken. Es ist z.B. [mm] \vektor{1\\2}, \vektor{2\\3}, \vektor{0\\1} [/mm] linear abhängig, aber gilt das auch für jede Teilmenge?
> Analoges würde ich bei Aufgabe 4 sagen.....Bin mir
> allerdings absolut nicht sicher..
Kannst ja versuchen, einen beweis zu führen. Nimm an, es wäre Y linear unabhängig und X abhängig. Warum kann das nicht sein?
> Aufgabe 2 ist für mich auch wahr, da wenn X linear
> unabhängig und eine Basis ist, auch Y linear unabhängig und
> Basis von V ist.
Ja? X enthält doch weniger Elemente als Y.
>
> Aufgabe 3 hab ich noch nicht wirklich eine Lösung..
Weißt Du denn, was ein Erzeugendensystem ist?
Gruß v. Angela
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> Wäre über Hilfe und Verbesserungen sehr dankbar..
>
> Mfg Nyx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Nyx |
Danke erstmal für die schnelle Antwort...
ehrlich gesagt war ich letzte Vorlesung nicht da....weil ich krank war....und jetzt versuche ich das halt aufzuarbeiten...hab das aber noch nicht gan verstanden...leider...
du hast gesagt, dass $ [mm] \vektor{1\\2}, {2\\3}, \vektor{0\\1} [/mm] $ linear abhängig ist...aberr nicht untereinander oder? da kommt bei mir bei den gleichungsystemen ein triviales ergebnis raus und das bedeutet doch, dass sie linear unabhängig sind...
oder hast du das auf eine teilmenge bezogen...??
zu aufgabe 3....ein erzeugendensystem besagt doch, dass man aus den vektoren der teilmenge die vektoren von V erzeugen kann....aber wie wende ich dass dann auf das beispiel an?
mfg Nyx
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> du hast gesagt, dass [mm]\vektor{1\\2}, \vektor{2\\3}, \vektor{0\\1}[/mm]
> linear abhängig ist...aberr nicht untereinander oder?
Hallo,
was meinst Du mit "nicht untereinander"?
Die drei sind linear abhängig, und wenn Du was anderes herausbekommst, machst Du etwas Gravierendes falsch.
> kommt bei mir bei den gleichungsystemen ein triviales
> ergebnis raus und das bedeutet doch, dass sie linear
> unabhängig sind...
> oder hast du das auf eine teilmenge bezogen...??
Nein. Denn Teilmenge kommt jetzt: nehme ich eine echte Teilmengevon denen, so ist diese linear unabhängig.
>
>
> zu aufgabe 3....ein erzeugendensystem besagt doch, dass man
> aus den vektoren der teilmenge die vektoren von V erzeugen
> kann....aber wie wende ich dass dann auf das beispiel an?
Ja. Und wenn man mit den Vektoren von X den Raum V erzeugen kann, dann kann man'smit denen von Y doch erst recht, oder nicht?
Gruß v. Angela
>
> mfg Nyx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 02.12.2008 | | Autor: | Nyx |
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> > du hast gesagt, dass [mm]\vektor{1\\2}, \vektor{2\\3}, \vektor{0\\1}[/mm]
> > linear abhängig ist...aberr nicht untereinander oder?
>
> Hallo,
>
> was meinst Du mit "nicht untereinander"?
>
> Die drei sind linear abhängig, und wenn Du was anderes
> herausbekommst, machst Du etwas Gravierendes falsch.
Man muss doch, wenn die vektoren linear abhängig sind, ein nicht triviales ergebnis für k,l,m bekommen bei
[mm]k*\vektor{1\\2} + l*\vektor{2\\3} + m*\vektor{0\\1} = \vektor{0\\0}[/mm]
oder nicht...?
bei einem trivialen ergebnis sind die vektoren doch linear unabhängig....
>
> > kommt bei mir bei den gleichungsystemen ein triviales
> > ergebnis raus und das bedeutet doch, dass sie linear
> > unabhängig sind...
> > oder hast du das auf eine teilmenge bezogen...??
>
> Nein. Denn Teilmenge kommt jetzt: nehme ich eine echte
> Teilmengevon denen, so ist diese linear unabhängig.
>
> >
> >
> > zu aufgabe 3....ein erzeugendensystem besagt doch, dass man
> > aus den vektoren der teilmenge die vektoren von V erzeugen
> > kann....aber wie wende ich dass dann auf das beispiel an?
>
> Ja. Und wenn man mit den Vektoren von X den Raum V erzeugen
> kann, dann kann man'smit denen von Y doch erst recht, oder
> nicht?
>
> Gruß v. Angela
>
> >
> > mfg Nyx
>
vielen dank für die hilfe...
mfg Nyx
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> > Die drei sind linear abhängig, und wenn Du was anderes
> > herausbekommst, machst Du etwas Gravierendes falsch.
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> Man muss doch, wenn die vektoren linear abhängig sind, ein
> nicht triviales ergebnis für k,l,m bekommen bei
>
> [mm]k*\vektor{1\\2} + l*\vektor{2\\3} + m*\vektor{0\\1} = \vektor{0\\0}[/mm]
>
> oder nicht...?
> bei einem trivialen ergebnis sind die vektoren doch linear
> unabhängig....
Hallo,
Du mußt präziser formulieren: wenn es nur die triviale Lösung gibt, sind die Vektoren linear unabhängig.
Ist das hier der Fall?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 02.12.2008 | | Autor: | Nyx |
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> > > Die drei sind linear abhängig, und wenn Du was anderes
> > > herausbekommst, machst Du etwas Gravierendes falsch.
> >
> > Man muss doch, wenn die vektoren linear abhängig sind, ein
> > nicht triviales ergebnis für k,l,m bekommen bei
> >
> > [mm]k*\vektor{1\\2} + l*\vektor{2\\3} + m*\vektor{0\\1} = \vektor{0\\0}[/mm]
> >
> > oder nicht...?
> > bei einem trivialen ergebnis sind die vektoren doch
> linear
> > unabhängig....
>
> Hallo,
>
> Du mußt präziser formulieren: wenn es nur die triviale
> Lösung gibt, sind die Vektoren linear unabhängig.
>
> Ist das hier der Fall?
>
> Gruß v. Angela
>
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wenn ich das lgs aufstelle und dann auflöse, kommt da l=m bzw. k=-2*m raus...
kann ich dann einfach z.b m=1 setzen....??dann würde ja m=l=1 und k=-2 rauskommen --> also eine nicht triviale lösung --> linear abhängig...
danke...
mfg Nyx
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> wenn ich das lgs aufstelle und dann auflöse, kommt da l=m
> bzw. k=-2*m raus...
> kann ich dann einfach z.b m=1 setzen....??dann würde ja
> m=l=1 und k=-2 rauskommen --> also eine nicht triviale
> lösung --> linear abhängig...
Hallo,
ja, damit hättest Du eine der nichttrivialen Lösungen gefunden.
Die drei Vektoren sind nicht linear unabhängig.
Nun kannst Du aber weiter eststellen, daß jeweils zwei beliebige von ihnen linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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