Teilmengen und Basen... < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Sa 10.12.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] mit Basis B und M [mm] \subset [/mm] V sei eine endliche linear unabhängige Teilmenge.
Zeigen Sie, dass es eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] B gibt, so dass (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cup [/mm] M eine Basis von V ist. |
Kann mir bitte jemand sagen, welchen Ansatz ich benutzen soll?
Normalerweise formuliere ich Fragen nicht komplett blank, aber ich verstehe einfach nicht, was ich genau zeigen soll.. Vielleicht liegts ja auch an Schläuchen und der Uhrzeit.
Das Einzige, aber wohl zu Triviale, was mir einfällt: A = M, dann ist die Forderung erfüllt... M dürfte nur die gleiche Anzahl an Elementen haben wie A, weil sonst zuviele / zuwenige Vektoren für eine Basis existieren.
(Im [mm] \IR^4 [/mm] 4 lin unabh Vektoren gefordert);
Die Vektoren an sich müssen an sich nicht denen von A entsprechen, müssen aber nicht nur "unter sich" linear unabhängig sein - was in der Definition schon festgelegt wäre, sondern auch in Bezug auf die noch verbliebenen Vektoren von [mm] B\backslash [/mm] A ..
Aber wie formuliere ich das mathematisch? Oder bin ich generell auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Ich gehe einmal davon aus, dass der Raum endliche Dimension hat und vermute, dass ihr ein Erzeugendensystem Basis nennt, wenn es linear unabhaengig ist. Wenn ihr eine Basis anders definiert habt, muesste man eventuell andere Ueberlegungen anstellen.
Die Menge [mm] $B\cup [/mm] M$ erzeugt ganz sicher $V$, dazu reicht ja schon $B$ aus, aber die Menge muss nicht linear unabhaengig sein. Also koennte man den Ansatz machen, dass [mm] $A\subseteq [/mm] B$ eine Menge von maximaler Maechtigkeit ist dergestalt, dass [mm] $B\setminus A\cup [/mm] M$ den Raum $V$ erzeugt. Wenn es Dir jetzt gelingt nachzuweisen, dass [mm] $B\setminus A\cup [/mm] M$ aufgrund der maximalen Wahl von $A$ linear unabhaengig ist, dann waere der Beweis Komplett.
Das, was Du beweisen sollst, nennt man uebrigens auch den Steinitz'schen Austauschsatz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 11.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Ja, wir haben Basen so definiert.
Vielen Dank für deine Antwort!
Trotzdem bleiben Fragen offen: Die Anzahl der Vektoren einer Basis entspricht der Dimension des Vektorraums?
M wurde aber nur als linear unabhängige Teilmenge definiert, ohne Größenangabe.
Ist da bereits mein Denkfehler und es ist überflüssig, oder hängt es doch davon ab?
Das hiesse dann, M muss kleiner sein als die Basis, oder maximal genauso viele Vektoren enthalten, wie die Basis. - so ähnlich hatte ich es auch in einem Artikel über den steinizschen Austauschsatz gelesen.
Ansonsten kann ich über Induktion zeigen, dass es möglich ist, einen Vektor der Basis zu ersetzen durch einen lin. unab. Vektor der Teilmenge und dass es dann auch für n+1 < Dimension gilt.
Aber es soll ja mit der kompletten Menge M vereinigt werden...
Je mehr ich drüber nachdenke, desto mehr bekomme ich Knoten im Kopf :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Ja, wir haben Basen so definiert.
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> Trotzdem bleiben Fragen offen: Die Anzahl der Vektoren
> einer Basis entspricht der Dimension des Vektorraums?
Ja.
> M wurde aber nur als linear unabhängige Teilmenge
> definiert, ohne Größenangabe.
> Ist da bereits mein Denkfehler und es ist überflüssig,
> oder hängt es doch davon ab?
> Das hiesse dann, M muss kleiner sein als die Basis, oder
> maximal genauso viele Vektoren enthalten, wie die Basis. -
> so ähnlich hatte ich es auch in einem Artikel über den
> steinizschen Austauschsatz gelesen.
Richtig. Eine Basis ist eine linear unabhaengige Menge, die maximal ist. Obwohl das hier nicht wesentlich sein duerfte.
> Ansonsten kann ich über Induktion zeigen, dass es
> möglich ist, einen Vektor der Basis zu ersetzen durch
> einen lin. unab. Vektor der Teilmenge und dass es dann auch
> für n+1 < Dimension gilt.
> Aber es soll ja mit der kompletten Menge M vereinigt
> werden...
Davon habe ich jetzt auch einen Knoten im Kopf bekommen.
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> Je mehr ich drüber nachdenke, desto mehr bekomme ich
> Knoten im Kopf :)
Wenn Du moechtest, kannst Du ja einmal Deinen Ansatz zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 11.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Das freut mich, wenn ich Andere auch verwirren kann :)
Einen mathematischen Ansatz habe ich ehrlichgesagt noch nicht wirklich.
Ich hoffe, "normal" ausgedrückt geht auch?
Also:
Ich habe eine Basis B, mit [mm] b_{1}, [/mm] ..., [mm] b_{n} [/mm] Vektoren.
Dann kann ich einen Vektor aus der Basis entfernen und durch einen, zu allen Vektoren der Basis unabhängigen Vektoren aus der Menge M ersetzen.
Wenn das für einen Vektor möglich ist, dann auch für x Vektoren und demzufolge auch für x + 1 Vektoren < n.
Das war im Prinzip der Ansatz.
Anscheinend habe ich die Sache mit der Vereinigung bisher falsch verstanden und würde das gern nochmal durchlesen bevor ich mehr hinschreibe.
Aber kann ich so anfangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mo 12.12.2011 | | Autor: | hippias |
Fuer mich hoert sich das ganz vernuenftig an. Die Basisvektoren, die Du weglaesst, bilden dann die Menge $A$ aus der Behauptung; das Hinzufuegen wird dort durch die Vereinigung [mm] $\cup$ [/mm] ausgedrueckt.
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