Teilmengen eines m.R. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U [mm] \subset [/mm] X eine offene Teilmenge und [mm]A, B \subset X[/mm] beliebige Teilmengen eines metrischen Raumes X. Man überlege sich [mm] \overline A - \overline B[/mm] [mm] \subset \overline {A-B}[/mm] und beweise damit
[mm]
U \cap \overline {A} \subset \overline {U \cap A}[/mm], [mm] \overline {U \cap \bar A}=\overline {U \cap A}
[/mm] |
Hallo allerseits,
ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme. Angefangen das ich nicht Hundertprozent sicher bin was [mm]\bar A[/mm] genau ist.
In der Vorlesung haben wir dies definiert als:
[mm]\bar A: \forall \epsilon >0 [/mm] ist [mm] K(p_a,\epsilon) \cap A \not= \emptyset [/mm]
Dementsprechend dachte ich mir das dies ja auch für [mm]\bar B[/mm] gelten müsste:
[mm]\bar B: \forall \epsilon >0 [/mm] ist [mm] K(p_b,\epsilon) \cap B \not= \emptyset [/mm]
Dies ist soweit ich weiß die Defintion eines Berührungspunktes.
Dies ist der Punkt ab dem ich einen Schubs in die richtige Richtung bräuchte. Ich bin mir nicht sicher ob ich zeigen muss:
[mm] \overline A - \overline B= (K(p_a,\epsilon) \cap A) - (K(p_b,\epsilon) \cap B) \subset (K(p_a,\epsilon)-(K(p_b,\epsilon)) \cap (A-B)=\overline {A-B}[/mm]
oder etwas völlig anderes. Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen
Maletisiia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Edit by Marcel: Die folgende Antwort enthält "Fehler" bzw. ist nicht passend im
Kontext des Prinzips "allgemeiner metrischer Räume". Sie kann nur dann als
sinnvoll erachtet werden, wenn wir etwa spezielle metrische Räume haben,
etwa normierte Räume, die metrische Räume in dem Sinne sind, dass jede
Norm eine Metrik induziert. Denn das Symbol $A - [mm] B\,$ [/mm] kann hier natürlich nicht
also [mm] $\{a-b:\;\;a \in A \text{ und }b \in B\}$ [/mm] gelesen werden, wenn wir "nur" irgendeinen metrischen Raum
vorliegen haben. In der Aufgabe wird es sicherlich für $A [mm] \setminus [/mm] B$ benutzt! Genaueres
entnimmt man meiner nächsten Antwort!
> Sei U [mm]\subset[/mm] X eine offene Teilmenge und [mm]A, B \subset X[/mm]
> beliebige Teilmengen eines metrischen Raumes X. Man
> überlege sich [mm]\overline A - \overline B[/mm] [mm]\subset \overline {A-B}[/mm]
kennst Du die Charakterisierung des Abschlusses mit Folgen? (Siehe [mm] $\red{\;(\*)\;}$!) [/mm] Damit geht das
oben nämlich relativ einfach:
Ist $x [mm] \in \overline{A} [/mm] - [mm] \overline{B}\,,$ [/mm] so gibt es [mm] $\overline{a} \in \overline{A}$ [/mm] und [mm] $\overline{b} \in \overline{B}$ [/mm] mit [mm] $x=\overline{a}-\overline{b}\,.$ [/mm] Demnach existieren [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$
mit [mm] $a_n \to \overline{a}$ [/mm] und [mm] $b_n \to \overline{b}\,.$
[/mm]
Die durch [mm] $r_n:=a_n-b_n$ [/mm] definierte Folge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] ist dann eine Folge in [mm] $A-B\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n \to \infty} r_n=...=\overline{a}-\overline{b}=x$ [/mm] konvergiert sie (in [mm] $X\,$), [/mm] und weil [mm] $\overline{A-B}$ [/mm] abgeschlossen ist,
muss daher [mm] $\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}$ [/mm] gelten.
Was folgt daraus?
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[mm] $\red{\;(\*)\;}$ [/mm] Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Menge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann abgeschlossen (bzgl. [mm] $d\,$), [/mm]
wenn gilt:
Für alle Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $A\,,$ [/mm] die in [mm] $X\,$ [/mm] konvergieren [mm] (d.h.:$\exists [/mm] x [mm] \in \red{\;X\;}$ [/mm] mit [mm] $d(a_n,x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$),
[/mm]
folgt schon, dass der Grenzwert der Folge selbst zu [mm] $A\,$ [/mm] gehört.
(Also: [mm] $(\forall (a_n)_n \text{ mit stets }a_n \in [/mm] A$ und so, dass [mm] $\exists [/mm] x [mm] \in \red{\;X\;}$ [/mm] mit [mm] $d(a_n,x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty)$ [/mm] gilt $x [mm] \in \text{\blue{A}}\,.$ [/mm] )
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---------------------------------------------------------------------
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Was haben wir mit [mm] $(\*)$ [/mm] also oben gemacht? Mit [mm] $(\*)$ [/mm] haben wir erstmal
begründet, dass es solche [mm] $a_n \in [/mm] A$ mit [mm] $a_n \to \overline{a}$ [/mm] gibt, und dann
auch, dass es solche [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $b_n \to \overline{b}$ [/mm] gibt. Damit konstruieren
wir eine Folge in [mm] $\overline{A-B}\,,$ [/mm] die gegen [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert. Weil [mm] $\overline{A-B}$ [/mm] abgeschlossen ist
(ist Dir klar, dass [mm] $\overline{A}$ [/mm] abgeschlossen ist? Das liegt nicht einfach nur an
der Namensgebung, dass [mm] $\overline{A}$ [/mm] der Abschluss von [mm] $A\,$ [/mm] heißt!), können wir wieder [mm] $(\*)$ [/mm] verwenden...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Sei U [mm]\subset[/mm] X eine offene Teilmenge und [mm]A, B \subset X[/mm]
> > beliebige Teilmengen eines metrischen Raumes X. Man
> > überlege sich [mm]\overline A - \overline B[/mm] [mm]\subset \overline {A-B}[/mm]
>
> kennst Du die Charakterisierung des Abschlusses mit Folgen?
> (Siehe [mm]\red{\;(\*)\;}[/mm]!) Damit geht das
> oben nämlich relativ einfach:
> Ist [mm]x \in \overline{A} - \overline{B}\,,[/mm] so gibt es
> [mm]\overline{a} \in \overline{A}[/mm] und [mm]\overline{b} \in \overline{B}[/mm]
> mit [mm]x=\overline{a}-\overline{b}\,.[/mm] Demnach existieren [mm]a_n \in A[/mm]
> und [mm]b_n \in B[/mm]
> mit [mm]a_n \to \overline{a}[/mm] und [mm]b_n \to \overline{b}\,.[/mm]
>
> Die durch [mm]r_n:=a_n-b_n[/mm] definierte Folge [mm](r_n)_n[/mm] ist dann
> eine Folge in [mm]A-B\,.[/mm]
> Wegen [mm]\lim_{n \to \infty} r_n=...=\overline{a}-\overline{b}=x[/mm]
> konvergiert sie (in [mm]X\,[/mm]), und weil [mm]\overline{A-B}[/mm]
> abgeschlossen ist,
> muss daher [mm]\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}[/mm]
> gelten.
Hier bin ich mir nicht ganz im klaren wieso das gilt und was dies mit der Abgeschlossenheit zu tun hat.
>
> Was folgt daraus?
Daraus müsste doch schon Folgen:
[mm]\overline A - \overline B[/mm] [mm]\subset \overline {A-B}[/mm]
da [mm]\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}[/mm] und
[mm] r_n:=a_n-b_n [/mm] und [mm] a_n \rightarrow \bar a[/mm] , [mm] b_n \rightarrow \bar b [/mm]
>
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>
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>
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>
> [mm]\red{\;(\*)\;}[/mm] Sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Eine Menge [mm]A \subseteq X[/mm]
> ist genau dann abgeschlossen (bzgl. [mm]d\,[/mm]),
> wenn gilt:
> Für alle Folgen [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A\,,[/mm] die in [mm]X\,[/mm] konvergieren
> (d.h.:[mm]\exists x \in \red{\;X\;}[/mm] mit [mm]d(a_n,x) \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]),
>
> folgt schon, dass der Grenzwert der Folge selbst zu [mm]A\,[/mm]
> gehört.
> (Also: [mm](\forall (a_n)_n \text{ mit stets }a_n \in A[/mm] und so,
> dass [mm]\exists x \in \red{\;X\;}[/mm] mit [mm]d(a_n,x) \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty)[/mm]
> gilt [mm]x \in \text{\blue{A}}\,.[/mm] )
>
Diese Definition ist mir soweit bekannt, in unserem Skript war sie ein wenig anders Formuliert aber an sich gleich.
> ---------------------------------------------------------------------
>
> ---------------------------------------------------------------------
>
> ---------------------------------------------------------------------
>
> Was haben wir mit [mm](\*)[/mm] also oben gemacht? Mit [mm](\*)[/mm] haben
> wir erstmal
> begründet, dass es solche [mm]a_n \in A[/mm] mit [mm]a_n \to \overline{a}[/mm]
> gibt, und dann
> auch, dass es solche [mm]b_n \in B[/mm] mit [mm]b_n \to \overline{b}[/mm]
> gibt. Damit konstruieren
> wir eine Folge in [mm]\overline{A-B}\,,[/mm] die gegen [mm]x\,[/mm]
> konvergiert. Weil [mm]\overline{A-B}[/mm] abgeschlossen ist
> (ist Dir klar, dass [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen ist? Das
> liegt nicht einfach nur an
> der Namensgebung, dass [mm]\overline{A}[/mm] der Abschluss von [mm]A\,[/mm]
> heißt!), können wir wieder [mm](\*)[/mm] verwenden...
>
Also verstehe ich dich richtig das wir das oben Definiert ähnlich für den zweiten Teil der Aufgabe weiter verwenden müssen. Ich soll dann zeigen das der Schnitt einer Abgeschlossenen Menge mit einer offenen, wieder eine Abgeschlossene Menge ist?
> Gruß,
> Marcel
Ich hoffe meine Fragen sind nicht als zu "dumm" ich habe ein wenig Probleme mit diesem Typ von Aufgaben :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Sei U [mm]\subset[/mm] X eine offene Teilmenge und [mm]A, B \subset X[/mm]
> > > beliebige Teilmengen eines metrischen Raumes X. Man
> > > überlege sich [mm]\overline A - \overline B[/mm] [mm]\subset \overline {A-B}[/mm]
> >
> > kennst Du die Charakterisierung des Abschlusses mit Folgen?
> > (Siehe [mm]\red{\;(\*)\;}[/mm]!) Damit geht das
> > oben nämlich relativ einfach:
> > Ist [mm]x \in \overline{A} - \overline{B}\,,[/mm] so gibt es
> > [mm]\overline{a} \in \overline{A}[/mm] und [mm]\overline{b} \in \overline{B}[/mm]
> > mit [mm]x=\overline{a}-\overline{b}\,.[/mm] Demnach existieren [mm]a_n \in A[/mm]
> > und [mm]b_n \in B[/mm]
> > mit [mm]a_n \to \overline{a}[/mm] und [mm]b_n \to \overline{b}\,.[/mm]
>
> >
> > Die durch [mm]r_n:=a_n-b_n[/mm] definierte Folge [mm](r_n)_n[/mm] ist dann
> > eine Folge in [mm]A-B\,.[/mm]
> > Wegen [mm]\lim_{n \to \infty} r_n=...=\overline{a}-\overline{b}=x[/mm]
> > konvergiert sie (in [mm]X\,[/mm]), und weil [mm]\overline{A-B}[/mm]
> > abgeschlossen ist,
> > muss daher [mm]\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}[/mm]
> >
> gelten.
> Hier bin ich mir nicht ganz im klaren wieso das gilt und
> was dies mit der Abgeschlossenheit zu tun hat.
Das steht doch in [mm] $\red{\;(\*)\;}:$ [/mm] Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn
...
Nun ist [mm] $\overline{A-B}$ [/mm] selbst eine abgeschlossene Menge. Wir haben eine Folge
in [mm] $\overline{A-B}\,,$ [/mm] die in [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert. Ihr Grenzwert gehört wegen [mm] $\red{\;(\*)\;}$ [/mm] also zu [mm] $\overline{A-B}\,.$
[/mm]
> > Was folgt daraus?
>
> Daraus müsste doch schon Folgen:
> [mm]\overline A - \overline B[/mm] [mm]\subset \overline {A-B}[/mm]
> da [mm]\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}[/mm] und
> [mm]r_n:=a_n-b_n[/mm] und [mm]a_n \rightarrow \bar a[/mm] , [mm]b_n \rightarrow \bar b[/mm]
Na, vor allen Dingen hatten wir IRGENDEIN $x [mm] \in \overline{A}-\overline{B}$ [/mm] hergenommen. Du hast
richtig erkannt, dass obige Argumentation zeigt, dass [mm] $x=\lim_{n \to \infty}r_n \in \overline{A-B}\,.$ [/mm] Und daher gilt
[mm] $$\overline{A}-\overline{B} \subseteq \overline{A-B}\,.$$
[/mm]
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> >
> > [mm]\red{\;(\*)\;}[/mm] Sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Eine Menge [mm]A \subseteq X[/mm]
> > ist genau dann abgeschlossen (bzgl. [mm]d\,[/mm]),
> > wenn gilt:
> > Für alle Folgen [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A\,,[/mm] die in [mm]X\,[/mm]
> konvergieren
> > (d.h.:[mm]\exists x \in \red{\;X\;}[/mm] mit [mm]d(a_n,x) \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]),
>
> >
> > folgt schon, dass der Grenzwert der Folge selbst zu [mm]A\,[/mm]
> > gehört.
> > (Also: [mm](\forall (a_n)_n \text{ mit stets }a_n \in A[/mm] und so,
> > dass [mm]\exists x \in \red{\;X\;}[/mm] mit [mm]d(a_n,x) \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty)[/mm]
> > gilt [mm]x \in \text{\blue{A}}\,.[/mm] )
> >
> Diese Definition ist mir soweit bekannt, in unserem Skript
> war sie ein wenig anders Formuliert aber an sich gleich.
Ich habe deswegen gefragt, weil dies' nicht unbedingt, wie Du es nennst,
eine Definition sein muss - es kann auch eine Charakterisierung einer
anderen Definition sein - d.h. jemand anderes definiert den Begriff der
Abgeschlossenheit vielleicht anders, aber unter den gegebenen Voraussetzungen
(hier: metrische Räume) sind die Definitionen einander äquivalent. Es gibt
durchaus andere Möglichkeiten, auch direkt welche im Sinne von topologischen
Räumen, wo etwa etwas über den Rand gesagt wird...
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> >
> > Was haben wir mit [mm](\*)[/mm] also oben gemacht? Mit [mm](\*)[/mm] haben
> > wir erstmal
> > begründet, dass es solche [mm]a_n \in A[/mm] mit [mm]a_n \to \overline{a}[/mm]
> > gibt, und dann
> > auch, dass es solche [mm]b_n \in B[/mm] mit [mm]b_n \to \overline{b}[/mm]
> > gibt. Damit konstruieren
> > wir eine Folge in [mm]\overline{A-B}\,,[/mm] die gegen [mm]x\,[/mm]
> > konvergiert. Weil [mm]\overline{A-B}[/mm] abgeschlossen ist
> > (ist Dir klar, dass [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen ist? Das
> > liegt nicht einfach nur an
> > der Namensgebung, dass [mm]\overline{A}[/mm] der Abschluss von
> [mm]A\,[/mm]
> > heißt!), können wir wieder [mm](\*)[/mm] verwenden...
> >
> Also verstehe ich dich richtig das wir das oben Definiert
> ähnlich für den zweiten Teil der Aufgabe weiter verwenden
> müssen.
MÜSSEN ist zu viel gesagt. Aber wenn es einen Hinweis gibt, der keine
Verwendung findet, hätten wir den Hinweis auch nicht beweisen müssen.
> Ich soll dann zeigen das der Schnitt einer
> Abgeschlossenen Menge mit einer offenen, wieder eine
> Abgeschlossene Menge ist?
Das steht so nirgends!
> > Gruß,
> > Marcel
> Ich hoffe meine Fragen sind nicht als zu "dumm" ich habe
> ein wenig Probleme mit diesem Typ von Aufgaben :/
Nein, die Fragen entstehen wegen "Ungeübtheit" mit diesen Begriffen. Das
hat nichts mit dumm zu tun.
Du sollst nun etwa zeigen:
$U [mm] \cap \overline [/mm] {A} [mm] \subset \overline [/mm] {U [mm] \cap A}\,,$
[/mm]
wobei $U [mm] \subseteq [/mm] X$ offen ist.
[mm] $\overline{A}$ [/mm] ist zwar in der Tat abgeschlossen, aber vor allem ist [mm] $\overline{A}$ [/mm] der ABSCHLUSS
von [mm] $A\,,$ [/mm] das kannst Du Dir vorstellen als "die kleinste abgeschlossene Teilmenge
von [mm] $X\,,$ [/mm] die [mm] $A\,$ [/mm] als Teilmenge enthält."
Kann es übrigens sein, dass ich bei Euch bei [mm] $A-B\,$ [/mm] das "Minuszeichen" falsch
interpretiert habe? Ist es als [mm] "$A\,$ [/mm] ohne [mm] $B\,$" [/mm] zu lesen? Das würde ich auch
nicht so schreiben, sondern als $A [mm] \setminus B\,.$
[/mm]
Denn andernfalls sehe ich gerade nicht den Sinn davon, das Hilfsmittel zu
beweisen. Außerdem ist $a-b,$ für $a,b [mm] \in X\,,$ [/mm] wenn [mm] $(X,d)\,$ [/mm] "nur" ein metrischer
Raum ist, ja gar nicht definiert. Da habe ich mich selbst getäuscht und bin
in normierte Räume gehüpft (ist Dir aber anscheinend auch nicht aufgefallen ^^).
Also KORREKTUR:
Zeige also vielleicht nun nochmal zunächst:
[mm] $$\text{(I)}\;\;\;\;\;\;\;(\overline{A}\setminus \overline{B}) \subseteq \overline{A \setminus B}\,.$$
[/mm]
Ich denke, dass das eine sinnvollere Aussage ist, die auch mehr mit den eigentlichen
Aufgaben hier zu tun hat.
(Bei dieser Aussage könnte es auch helfen, zu wissen, dass $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \iff [/mm] M [mm] \setminus N=\varnothing\,.$ [/mm] Das musst Du
aber einfach mal selbst probieren...)
Ich glaube allerdings, eine relativ einfache Methode, um [mm] $\text{(I)}$ [/mm] zu beweisen, ist es,
zu benutzen, dass gilt:
Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum, so gilt für $M [mm] \subseteq [/mm] X$ halt [mm] $\overline{M}=M \cup \partial M\,.$
[/mm]
P.S. Sorry, wenn ich Dich verwirrt hatte. Ich hatte nicht mehr bedacht, dass
$A - [mm] B\,$ [/mm] auch für [mm] $A\setminus [/mm] B$ geschrieben wird. Und ich hatte auch nicht
bedacht, dass wir hier "nur" metrische Räume vorliegen haben. Was macht
denn [mm] $a-b\,$ [/mm] dann eigentlich für einen Sinn? I.a. keinen. In normierten Räumen
würde das vielleicht passen, was ich da geschrieben hatte...
Ich ändere das mal bei der anderen Antwort ab!
Gruß,
Marcel
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>
> Du sollst nun etwa zeigen:
>
> [mm]U \cap \overline {A} \subset \overline {U \cap A}\,,[/mm]
>
> wobei [mm]U \subseteq X[/mm] offen ist.
>
> [mm]\overline{A}[/mm] ist zwar in der Tat abgeschlossen, aber vor
> allem ist [mm]\overline{A}[/mm] der ABSCHLUSS
> von [mm]A\,,[/mm] das kannst Du Dir vorstellen als "die kleinste
> abgeschlossene Teilmenge
> von [mm]X\,,[/mm] die [mm]A\,[/mm] als Teilmenge enthält."
>
> Kann es übrigens sein, dass ich bei Euch bei [mm]A-B\,[/mm] das
> "Minuszeichen" falsch
> interpretiert habe? Ist es als "[mm]A\,[/mm] ohne [mm]B\,[/mm]" zu lesen?
> Das würde ich auch
> nicht so schreiben, sondern als [mm]A \setminus B\,.[/mm]
>
> Denn andernfalls sehe ich gerade nicht den Sinn davon, das
> Hilfsmittel zu
> beweisen. Außerdem ist [mm]a-b,[/mm] für [mm]a,b \in X\,,[/mm] wenn
> [mm](X,d)\,[/mm] "nur" ein metrischer
> Raum ist, ja gar nicht definiert. Da habe ich mich selbst
> getäuscht und bin
> in normierte Räume gehüpft (ist Dir aber anscheinend
> auch nicht aufgefallen ^^).
>
> Also KORREKTUR:
>
> Zeige also vielleicht nun nochmal zunächst:
> [mm]\text{(I)}\;\;\;\;\;\;\;(\overline{A}\setminus \overline{B}) \subseteq \overline{A \setminus B}\,.[/mm]
>
> Ich denke, dass das eine sinnvollere Aussage ist, die auch
> mehr mit den eigentlichen
> Aufgaben hier zu tun hat.
>
> (Bei dieser Aussage könnte es auch helfen, zu wissen, dass
> [mm]M \subseteq N \iff M \setminus N=\varnothing\,.[/mm] Das musst
> Du
> aber einfach mal selbst probieren...)
>
> Ich glaube allerdings, eine relativ einfache Methode, um
> [mm]\text{(I)}[/mm] zu beweisen, ist es,
> zu benutzen, dass gilt:
> Ist [mm](X,d)\,[/mm] ein metrischer Raum, so gilt für [mm]M \subseteq X[/mm]
> halt [mm]\overline{M}=M \cup \partial M\,.[/mm]
Ich bin nicht sicher ob ich den topologischen Rand verwenden darf, da dieser 3 Aufgaben später erst auftaucht in der Aufgabenstellung. Wir hatten in der Vorlesung:
[mm]\bar A=X-Int(X-A)[/mm] wobei Int die Menge aller inneren Punkte bzw. die größte in A enthaltene offene Menge ist. Kann ich dies auch verwenden?
Und mir ist bei beiden wegen nicht klar wie ich die Teilmenge zeigen soll mit hilfe der Formeln. Ich hätte das irgentwie über: Es ex. ein [mm]x\in \bar A - \bar B[/mm] versucht.
Mein versuch es über den Rand zu zeigen ging soweit:
[mm]\bar A / \bar B= A \cup{Fr(A)}/B \cup{Fr(B)}= (A\cup{\bar A \cap \overline {X-A})/ (B\cup (\bar B \cap \overline{X-B})=...=\bar A -\bar B[/mm]
Was mich offensichtlich nicht wirklich weiter bringt^^
>
> P.S. Sorry, wenn ich Dich verwirrt hatte. Ich hatte nicht
> mehr bedacht, dass
> [mm]A - B\,[/mm] auch für [mm]A\setminus B[/mm] geschrieben wird. Und ich
> hatte auch nicht
> bedacht, dass wir hier "nur" metrische Räume vorliegen
> haben. Was macht
> denn [mm]a-b\,[/mm] dann eigentlich für einen Sinn? I.a. keinen. In
> normierten Räumen
> würde das vielleicht passen, was ich da geschrieben
> hatte...
Das ist überhaupt kein Problem, ich bin froh das du mir hilfst. Ich habe mehr Defizite was dieses Thema angeht als ich dachte ;)
>
> Ich ändere das mal bei der anderen Antwort ab!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maletisiia,
gibt's 'ne Möglichkeit, mal in Euer Skript zu gucken (und auch auf das
Aufgabenblatt)?
Je nach Euren Mitteln kann man die Aufgabe elegant lösen, oder auch
umständlich.
Sicherlich ist sowas wie
[mm] $$\mathring{A}=\bigcup_{\substack{O \subseteq A\\O \text{ offen}}}O$$
[/mm]
oder
[mm] $$\overline{A}=\bigcap_{\substack{A \subseteq T\\T\text{ abgeschlossen}}}T$$
[/mm]
und
[mm] $$\partial A:=\overline{A} \setminus \mathring{A}$$
[/mm]
hier sehr hilfreich. Ich muss mir das aber nochmal in Ruhe angucken. Vielleicht
meldet sich zwischenzeitlich noch jemand. Oft ist es einfach der erste
Schritt, der bei diesen kleinen Aufgaben der einzige Kniff ist: Wenn der
passt, ist der Rest nur noch "Werkzeug anwenden".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maletisiia,
so, nun nochmal:
a) $ U [mm] \cap \overline [/mm] {A} [mm] \subseteq \overline [/mm] {U [mm] \cap [/mm] A} $,
b) $ [mm] \overline [/mm] {U [mm] \cap \bar A}=\overline [/mm] {U [mm] \cap [/mm] A} $
Dabei war [mm] $U\,$ [/mm] offen.
Sei mir nicht böse, wenn ich nicht direkt auf Deine Fragen eingehe. Ich mach's
nur gerade etwas kurz:
Zeigen solltest Du
[mm] $$\red{(\*)}\;\;\;\;\;\;(\overline{A}\setminus \overline{B}) \subseteq \overline{A\setminus B}\,.$$
[/mm]
Wozu man das braucht, weiß ich gerade auch noch nicht.
zu a): Man kann schnell zeigen, dass [mm] $\overline{A}=\mathring{A}\cup \partial A\,,$ [/mm] d.h. der Abschluss von [mm] $A\,$ [/mm] ist die
(disjunkte) Vereinigung des inneren Kerns von [mm] $A\,$ [/mm] mit dem Rand von [mm] $A\,.$
[/mm]
Sei $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \overline{A}\,.$
[/mm]
1. Fall: Falls $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \mathring{A}$ [/mm] ist (also $x [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $x\,$ [/mm] Element des inneren Kerns von [mm] $A\,$), [/mm]
so ist alles klar (das erkennt man, weil man sich schnell $U [mm] \cap \mathring{A} \subseteq [/mm] U [mm] \cap [/mm] A [mm] \subseteq \overline{U \cap A}$ [/mm]
klar machen kann).
2. Fall: Sei also $x [mm] \in [/mm] U$ und $x [mm] \in \partial A\,.$ [/mm] Wir zeigen nun, dass dann $x [mm] \in \partial(U \cap [/mm] A)$ gelten
muss. Wäre [mm] $x\,$ [/mm] innerer Punkt von $U [mm] \cap A\,,$ [/mm] also ein Element des Kerns von $U [mm] \cap A\,,$ [/mm]
so wäre [mm] $x\,$ [/mm] natürlich insbesondere innerer Punkt von [mm] $A\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \in \partial [/mm] A$ ist das nicht
möglich. Es muss noch $x [mm] \in \overline{U \cap A}$ [/mm] nachgewiesen werden:
Wäre $x [mm] \notin \overline{U \cap A}\,,$ [/mm] so gäbe es, weil $X [mm] \setminus \overline{U \cap A}$ [/mm] offen ist, ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $U_\epsilon(x) \subseteq [/mm] X [mm] \setminus \overline{U \cap A}\,.$
[/mm]
Wegen b) folgt dann [mm] $U_\epsilon(x) \subseteq [/mm] X [mm] \setminus \overline{U \cap \overline{A}} \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] (U [mm] \cap \overline{A})\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap \partial [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] (U [mm] \cap \overline{A})$ [/mm] kann dies aber nicht sein.
Bleibt also noch, b) zu beweisen. Das sehe ich nicht auf die Schnelle. Was
aber klar ist:
Die Teilmengenbeziehung [mm] $\supseteq$ [/mm] ist bei b) trivial:
Sie folgt nämlich wegen
$$(U [mm] \cap [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] (U [mm] \cap \overline{A})$$
[/mm]
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; \overline{U \cap A} \subseteq \overline{U \cap \overline{A}}\,.$$
[/mm]
Es reicht also, bei b) zu beweisen, dass auch
[mm] $$\overline{U \cap \overline{A}} \subseteq \overline{U \cap A}$$
[/mm]
gilt - und das ist auch das Wesentliche, was ich am Ende des Beweises zu a)
im 2. Fall verwendet habe!
(Beachte: $U [mm] \subseteq \red{\;V\;} \;\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;\; [/mm] (X [mm] \setminus \red{\;V\;}) \subseteq [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] U)$!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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