Teilmengen einer Menge X < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 24.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
| Aufgabe | Seien A,B,C Teilmengen einer Menge X. Man zeige:
(a) A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C) = ( A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C) |
Also die Aufgabe zieht sich noch mit einigen Beweisen hin und ich möchte auch nicht dass mir jemand meine Hausaufgaben rechnet, aber ich weiss einfach nicht wie ich den Beweis mathematisch korrekt zu notieren habe. Ich hatte schon gedacht dass ich B und C als Vereinigung wieder eine Menge D nennen kann, die den Durchschnitt mit A bildet, die wiederrum natürlich alle Elemente enthält, die in D und in A, also auch in B und C enthalten sind. Anschaulich ist es auf den ersten Blick klar, aber falls mir jemand ein Muster als Ansatz geben könnte welches ich übertragen kann wäre ich sehr dankbar.
mfg
david
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Di 24.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hi Djwinkel
Also, der aller strengste Beweis für so eine tiefliegende Eigenschaft von Mengen ist mittels Wahrheitstabelle aus der Aussagenlogik.
[mm]A\cap (B\cup C)=\{x|x\in A \wedge (x\in B\vee x\in C)\}[/mm]
[mm](A\cap B)\cup (A\cap C)=\{x|(x\in A\wedge x\in B)\vee
(x\in A\wedge x\in C)\}[/mm]
Du must zeigen, dass die Aussagen Äquivalent sind, also die Aussage
[mm]
x\in A \wedge (x\in B\vee x\in C)\quad\leftrightarrow\quad
(x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)
[/mm]
wahr ist für alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte der Aussagen
[mm]x\in A,\quad x\in B,\quad x\in C[/mm]
Probiere es mal und, wenn es nicht klappt, melde dich nochmal.
Viele Grüße, 
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
Hi galileo,
Wir definieren also x A, x B, x C als aussagen p, q, r und fertigen eine wahrheitstabelle an. Hab ich das richtig verstanden? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 25.10.2006 | | Autor: | galileo |
Ja, richtig!
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