Teilmengen des R^{n} < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Teilmengen und bestimmen Sie jeweils den Rand. Welche der Teilmengen sind offen, abgeschlossen oder kompakt?
a) [mm] $M_{1} [/mm] := [mm] \cap _{k=1}^{\infty}(-\frac{1}{k},\frac{1}{k})\subset \IR. [/mm] $
b) [mm] $M_{2} [/mm] := [mm] \cup_{m=1}^{\infty}\{ p \in \IR^{2} | \ ||p||=\frac{1}{m} \} \subset \IR^{2}$
[/mm]
c) [mm] $M_{3} [/mm] := [mm] \{ (x,y) \in \IR^{2} | \ xy=1 \} \subset \IR^{2}$
[/mm]
d) [mm] $M_{4}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ |x| \le 1, |y|\le 1 \} \cap \{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}.$
[/mm]
e) [mm] $M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0 |
Hallo,
a) Skizze: die Fläche zwischen den beiden Folgen mit Grenzwert 0. Der Rand gezeichnet durch [mm] \frac{-1}{k} [/mm] und [mm] \frac{1}{k}. [/mm] Sie ist beschränkt durch den Grenzwert und abgeschlossen, also kompakt.
b) dasselbe wie bei a) ??
c) Skizze: zwei Hyperbeln mit grösster Krümmung bei 1 und -1. Das ist abgeschlossen (es sind ja zwei Linien). Rand = die Linien
d) Skizze: ein Quadrat mit Seitenlänge 1, und davon wird der Schnitt gemacht mit allen Quadraten die ausserhalb dieses Quadrats liegen. Also bleibt nur der Rand als Schnittmenge übrig? Wie gebe ich den dann formal an??
e) Skizze: Ein rechtwinkliges Dreieck mit Breite 1 und höhe bei 1 wird vereinigt mit einem umgedrehten Dreieck gleicher Breite und Höhe also ist die Skizze ein Quadrat bei dem ein Zacken rausgeschnitten wurde. Das ist abgeschlossen weil ichs ja zeichnen kann mit einem Rand.
Wie gebe ich den Rand formal an??
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Sa 19.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Skizzieren Sie die Teilmengen und bestimmen Sie jeweils den
> Rand. Welche der Teilmengen sind offen, abgeschlossen oder
> kompakt?
>
> a) [mm]M_{1} := \cap _{k=1}^{\infty}(-\frac{1}{k},\frac{1}{k})\subset \IR.[/mm]
>
> b) [mm]M_{2} := \cup_{m=1}^{\infty}\{ p \in \IR^{2} | \ ||p||=\frac{1}{m} \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> c) [mm]M_{3} := \{ (x,y) \in \IR^{2} | \ xy=1 \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> d) [mm]M_{4}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ |x| \le 1, |y|\le 1 \} \cap \{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}.[/mm]
>
> e) [mm]M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0
>
> Hallo,
>
>
> a) Skizze: die Fläche zwischen den beiden Folgen mit
> Grenzwert 0. Der Rand gezeichnet durch [mm]\frac{-1}{k}[/mm] und
> [mm]\frac{1}{k}.[/mm] Sie ist beschränkt durch den Grenzwert und
> abgeschlossen, also kompakt.
Das verstehe ich nicht: k ist der Laufindex des unendlichen Durchschnitts, kann also im Ergebnis nicht vorkommen.
> b) dasselbe wie bei a) ??
Nein. Überlege dir doch erst einmal, wie die Menge aussieht, wenn der obere Index der Vereinigung eine Zahl ist, z.B. 1,2,3,4,...
> c) Skizze: zwei Hyperbeln mit grösster Krümmung bei 1 und
> -1. Das ist abgeschlossen (es sind ja zwei Linien). Rand =
> die Linien
ok. Ist diese Menge kompakt?
> d) Skizze: ein Quadrat mit Seitenlänge 1, und davon wird
> der Schnitt gemacht mit allen Quadraten die ausserhalb
> dieses Quadrats liegen. Also bleibt nur der Rand als
> Schnittmenge übrig? Wie gebe ich den dann formal an??
[mm]\{(x,y) \in \IR^{2} | \ |x| \le 1, |y|\le 1 \} [/mm] ist ein Quadrat, aber nicht mit Seitenlänge 1.
[mm]\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}[/mm] ist kein Quadrat.
>
>
> e) Skizze: Ein rechtwinkliges Dreieck mit Breite 1 und
> höhe bei 1 wird vereinigt mit einem umgedrehten Dreieck
> gleicher Breite und Höhe also ist die Skizze ein Quadrat
> bei dem ein Zacken rausgeschnitten wurde.
Zwei Dreiecke sind es, aber was meinst du mit "ein Quadrat, bei dem ein Zacken rausgeschnitten wurde"?
> Das ist
> abgeschlossen weil ichs ja zeichnen kann mit einem Rand.
Schau dir's nochmal genau an: welche der Randpunkte gehören zu [mm] $M_5$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 19.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
a) dann sind es hier nur zwei Hyperbeln mit Rand = Linie? Wie schreibt man das formal?
b) Das ist die Fläche ausserhalb der von [mm] $\frac{1}{||p||}$ [/mm] gezeichneten Hyperbeln. Das ist eine offene Menge und hat keinen Rand!
c) Nein nicht kompakt, sie ist ja nicht beschränkt.
> ist ein Quadrat, aber nicht mit Seitenlänge 1.
d) Ein Quadrat mit Seitenlänge 2. Und [mm] $\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}$ [/mm] ist ein Kreis mit Radius 1, also ist der SChnitt davon ein Quadrantenstück das durch eine Ecke des Quadrates zur gegenüberliegenden geht.
e) Ein rechtwinkliges Dreieck und das andere ist dasselbe aber um 180° gedreht, dann ist die Vereinigung ein Fünfeck das man zu einem Quadrat ergänzen kann wenn man oben ein Dreieck einfüllt .
Das ist doch kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt??
> Randpunkte
Verstehe ich nicht, ich sehe ja den Rand wenn ich die Menge aufzeichne, soll ich den durch Vektoren angeben??
> Viele Grüsse
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Sa 19.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> a) dann sind es hier nur zwei Hyperbeln mit Rand = Linie?
Wieso Hyperbeln? Es ist der Schnitt unendlich vieler offener Intervalle.
> b) Das ist die Fläche ausserhalb der von [mm]\frac{1}{||p||}[/mm]
> gezeichneten Hyperbeln.
Welche Kurven im [mm] $\IR^2$ [/mm] bestehen aus Punkten konstanter Norm? Das sind sicher keine Hyperbeln. Die gesuchte Menge ist die unendliche Vereinigung solcher Punktmengen.
> c) Nein nicht kompakt, sie ist ja nicht beschränkt.
ok.
> > ist ein Quadrat, aber nicht mit Seitenlänge 1.
>
> d) Ein Quadrat mit Seitenlänge 2. Und [mm]\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}[/mm]
> ist ein Kreis mit Radius 1, also ist der SChnitt davon ein
> Quadrantenstück das durch eine Ecke des Quadrates zur
> gegenüberliegenden geht.
Richtig. Bleibt noch die Frage, ob diese Menge offen, abgeschlossen oder keines von beiden ist.
> e) Ein rechtwinkliges Dreieck und das andere ist dasselbe
> aber um 180° gedreht, dann ist die Vereinigung ein
> Fünfeck das man zu einem Quadrat ergänzen kann wenn man
> oben ein Dreieck einfüllt .
Die Menge ist ein Dreieck, kein Fünfeck.
>
> Das ist doch kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt??
>
>
> > Randpunkte
>
> Verstehe ich nicht, ich sehe ja den Rand wenn ich die Menge
> aufzeichne, soll ich den durch Vektoren angeben??
Ich frage dich, ob die Randpunkte Elemente der Menge sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 19.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
>Wieso Hyperbeln? Es ist der Schnitt unendlich vieler offener Intervalle.
Also wäre der Schnitt doch nur die 0-Linie? Abgeschlossen und nicht beschränkt.
> Das sind sicher keine Hyperbeln.
b) Das ist doch eine Parabel die für 0 gegen unendlich geht, die Fläche ausserhalb ist die gesuchte vereinigte Menge, sie ist offen und hat keinen Rand ?
d)
> Richtig. Bleibt noch die Frage, ob diese Menge offen, abgeschlossen oder > > > keines von beiden ist.
Sie ist doch abgeschlossen und beschränkt also kompakt?
e)
> Die Menge ist ein Dreieck, kein Fünfeck.
Das erste Dreieck:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das zweite:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Vereinigung ist ein Dreieck... der Rand liegt im Dreieck es ist abgeschlossen und beschränkt also kompakt?
> Viele Grüsse
Danke
Gruss
kushkush
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 19.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> >Wieso Hyperbeln? Es ist der Schnitt unendlich vieler
> offener Intervalle.
>
> Also wäre der Schnitt doch nur die 0-Linie? Abgeschlossen
> und nicht beschränkt.
Was für eine 0-Linie? Das ist eine Teilmenge von [mm] $\IR$, [/mm] nicht von [mm] $\IR^2$ [/mm] ! Die menge besteht aus genau einem Element: [mm] $M_1=\{0\}$.
[/mm]
>
>
> > Das sind sicher keine Hyperbeln.
> b) Das ist doch eine Parabel die für 0 gegen unendlich
> geht,
Nein, wieso? Das sind Kreise mit Radius [mm] $\bruch{1}{m}$ [/mm] !
> d)
> > Richtig. Bleibt noch die Frage, ob diese Menge offen,
> abgeschlossen oder > > > keines von beiden ist.
>
> Sie ist doch abgeschlossen und beschränkt also kompakt?
Beschränkt, ja. Abgeschlossen nicht. Überege dir nochmal genau, welcher Teil des Randes zur Menge gehört.
Tipp: es ist der Durchschnitt einer abgeschlossenen und einer offenen Menge.
> e)
> > Die Menge ist ein Dreieck, kein Fünfeck.
>
> Das erste Dreieck:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Das zweite:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Die Vereinigung ist ein Dreieck... der Rand liegt im
> Dreieck
Nein, der Rand ist nicht Teil der Menge.
> es ist abgeschlossen und beschränkt also kompakt?
Nein. Offen und beschränkt.
Viele Grüsse
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 19.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
b)
>Nein, wieso? Das sind Kreise mit Radius
Dann ist die Menge die Fläche ausserhalb des Kreises mit Radius 1. sie ist offen und hat einen Rand (den Kreis mit Radius 1 )
d) wenn [mm] $\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}$ [/mm] umgewandelt zu [mm] $\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| \le 1 \}$ [/mm] dann wäre es kompakt oder?
e) Auch hier wieder, wenn es statt $ [mm] M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0
$ [mm] M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0
dann wäre es kompakt oder?
> Viele Grüsse
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Sa 19.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
>
> b)
> >Nein, wieso? Das sind Kreise mit Radius
>
> Dann ist die Menge die Fläche ausserhalb des Kreises mit
> Radius 1. sie ist offen und hat einen Rand (den Kreis mit
> Radius 1 )
Nein. Es sind unendlich viele disjunkte Kreislinien, die bilden zusammen nicht die Kreisfläche vom Radius 1, da es unendlich viele Kreise dazwischen gibt.
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>
> d) wenn [mm]\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| < 1 \}[/mm] umgewandelt
> zu [mm]\{v \in \IR^{2} | \ ||v-(1,1)|| \le 1 \}[/mm] dann wäre es
> kompakt oder?
Ja.
>
> e) Auch hier wieder, wenn es statt [mm]M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0
> wäre
>
> [mm]M_{5}:= \{(x,y) \in \IR^{2} | \ x\le 1 , 01, 0
>
> dann wäre es kompakt oder?
Nein, denn der untere Rand (die Punkte mit $y=0$ ) sind immer noch keine Elemente der Menge.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Sa 19.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Rainer,
Danke für die Erklärungen.
Gruss
kushkush
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