matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisTeilmengen der kompl. Zahlen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Teilmengen der kompl. Zahlen
Teilmengen der kompl. Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilmengen der kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 12.06.2006
Autor: mathika

Aufgabe
Skizzieren Sie die folgende Teilmenge von  [mm] \IC: [/mm]
M= {z | | z - i | = 4i [mm] \} [/mm]

Ist diese Menge leer? Ich habe mir überlegt, dass die Menge aus 5i und 3i bestehen könnte. Aber ich weiss nicht, ob ich so rechnen darf:
| z - i | = 4i
| (a+bi) - i | = 4i
| a+(b-1)i | = 4i
Wenn ich jetzt a=o einsetze, erhalte ich:
| (b-1)i | = 4i
Wenn ich b=5 oder b= -3 einsetze, gilt das:
| 4i | = 4i  bzw.
| -4i | = 4i ??
Eigentlich kann das nicht stimmen, aber wieso?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mo 12.06.2006
Autor: choosy

Hi, also so wies dasteht ist die menge leer, denn

$|z-i|$ ist eine Reelle Zahl (wegen dem Betrag)
diese wird nie $=4i$ sein, da diese rein imaginär ist....

Bezug
                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mo 12.06.2006
Autor: mathika

Vielen Dank!
Ich war mir nicht sicher, ob der Abstand zweier Zahlen eine reelle Zahl sein muss. Aber dann ist es klar...

Bezug
                        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 14.06.2006
Autor: mathika

Aufgabe
Skizzieren Sie folgende Teilmenge von der Menge der koplexen Zahlen:
M={z| [mm] z^{4}=16i [/mm] }

Hallo, ich hab hier noch eine Frage:
Kann ich bei der Aufgabe anstatt z einfach a+bi schreiben und dann so auflösen:
[mm] (a+bi)^{4}=16i [/mm]
[mm] (a^{2}+2abi-b^{2})^{2}=16i [/mm]
[mm] a^{4}+b^{4}+4a^{3}bi-4ab^{3}i-6a^{2}b^{2}=16i [/mm]
[mm] (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})+(4a^{3}b-4ab^{3})i=16i [/mm] ?

Muss dann [mm] (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})=0 [/mm]
und [mm] (4a^{3}b-4ab^{3})=16 [/mm] sein???

Bezug
                                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 14.06.2006
Autor: Herby

Hallo,


ich würde da die vierte Wurzel aus 16i ziehen.




Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mi 14.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo mathika!


Dein Weg ist theoretisch möglich und von der Idee her richtig. Allerdings wird es nun schwierig (denke ich ;-) ), dieses entstandene Gleichungssystem für $a_$ und $b_$ zu lösen.


Mein Vorschlag wäre hier die Anwendung der Moivre-Formel:

$z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi) + i*\sin(\varphi)\right]$ [/mm]


Dann gilt für:   $z \ = \ 16*i \ = \ [mm] 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right]$ [/mm]


Und für die n-te Wurzel gilt:

[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm]   mit   $k \ = \ 0 \ ... \ n-1$


Nun einfach mal die Werte $k \ = \ 0, 1, 2, 3$ in diese Formel einsetzen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: schick...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:16 Mi 14.06.2006
Autor: Herby

[huhu]


... dann spar' ich mir das Schreiben [grins]




lg
Herby

können wir das immer so machen ;-)

Bezug
                                                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: War auch nur Copy & Paste
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 14.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Herby!


Ich geb's ja zu ... war aus einer alten Antwort ent"liehen" ... [grins]


Gruß vom
Roadrunner


PS: Ich bin doch nicht Deine Tippse ... [vogelzeig]


Bezug
                                                        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: aber nur...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Mi 14.06.2006
Autor: Herby


> PS: Ich bin doch nicht Deine Tippse ... [vogelzeig]
>  


.... heute [totlach]



Liebe Grüße
Herby


Bezug
                                        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mi 14.06.2006
Autor: mathika

Also, erstmal danke euch beiden!
Aber ich hab's noch nicht ganz verstanden... Warum ist denn bei
[mm]z \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]
nicht [mm]z^{4} \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm] ?


[mm]\wurzel[n]{z} \ = \ z^{\bruch{1}{n}} \ = \ r^{\bruch{1}{n}}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right][/mm]

>   mit   [mm]k \ = \ 0 \ ... \ n-1[/mm]

Was setze ich denn dann für [mm] \varphi [/mm]  ein? [mm] \bruch{\pi}{2}? [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Du hast Recht ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Mi 14.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo mathika!


> Warum ist denn bei [mm]z \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]
> nicht [mm]z^{4} \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]  ?

Da hast Du Recht ... ich habe etwas mit den Bezeichnungen geschludert ...

  

> Was setze ich denn dann für [mm]\varphi[/mm]  ein? [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]  

[ok] Genau! Ich hatte hier halt die allgemeine Formel angegeben. In unserem Falle gilt ja [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                        
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mi 14.06.2006
Autor: mathika

Super! Danke... Aber woher weiß ich denn, dass für die n-te Wurzel
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right) + i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $  mit   $ k \ = \ 0 \ ... \ n-1 $
gilt? [verwirrt]

Bezug
                                                                
Bezug
Teilmengen der kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Do 15.06.2006
Autor: Herby

Guten Morgen Mathika,

[kaffeetrinker]


zunächst einmal ist [mm] z=r*e^{i\varphi}=r*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi)) [/mm]

da cos und sin [mm] 2\pi [/mm] periodisch sind gilt ebenso:

[mm] z=r*e^{i\varphi+k*2*\pi}=r*(cos(\varphi+k*2*\pi)+i*sin(\varphi+k*2*\pi)) [/mm]

Potenziere ich mit n, so erhalte ich:

[mm] z^n=(r*e^{i\varphi+k*2*\pi})^n=(r*(cos(\varphi+k*2*\pi)+i*sin(\varphi+k*2*\pi)))^n [/mm]

und das ist auch:

[mm] z^n=r^n*e^{n*i\varphi+n*k*2*\pi}=r^n*(cos(\varphi+k*2*\pi)+i*sin(\varphi+k*2*\pi))^n [/mm]

oder

[mm] z^n=r^n*e^{n*i\varphi+n*k*2*\pi}=r^n*(cos(n*\varphi+n*k*2*\pi)+i*sin(n*\varphi+n*k*2*\pi)) [/mm]



beim Radizieren mache ich das ganze rückwärts und [mm] \text{\blue{teile}} [/mm] dementsprechend durch n.

ist also [mm] z=a^n [/mm] so folgt: [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ z^{\bruch{1}{n}} \ = \ r^{\bruch{1}{n}}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right) + i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right][/mm]
mit   [mm]k \ = \ 0 \ ... \ n-1[/mm]


alles klärchen ;-)


Liebe Grüße
Herby


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]