Teilmengen der Lösungsmenge < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 20.04.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Welche Lösungsmengen [mm] L_{i} [/mm] sind Teilmengen der Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
Beweisen Sie Ihre Aussagen.
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = -2
[mm] -4x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 4
[mm] 6x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 9x_{3} [/mm] = -6
[mm] L_{1} [/mm] = [mm] \{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \} [/mm] |
I: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -2
II: [mm] -4x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 4
III: [mm] 6x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 9x_{3} [/mm] = -6
Ich multipliziere II mit - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und III [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ich erhalte:
I: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -2
II: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -2
III: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -2
Somit ist das LGS linear abhängig.
Ich erhalte als LGS:
I: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -2
Ich setze [mm] L_{1} [/mm] in I
[mm] 2(\lambda_{1}) [/mm] - [mm] (2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2} [/mm] ) - 3 [mm] (-\lambda_{1} [/mm] ) = -2
-2 = -2
0 = 0
Somit ist [mm] L_{1} [/mm] eine Teilmenge von I !
Ist mein Lösungsweg korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 20.04.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = -2
> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> III: [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
Im LGS in der Aufgabe steht [mm] $-x_3$, [/mm] in I [mm] $-3x_3$, [/mm] was aber wohl ein
Flüchtigkeitsfehler in der Aufgabe ist.
>
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> Ich erhalte:
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Somit ist das LGS linear abhängig.
>
> Ich erhalte als LGS:
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
>
> Ich setze [mm]L_{1}[/mm] in I
>
> [mm]2(\lambda_{1})[/mm] - [mm](2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2}[/mm] ) - 3
> [mm](-\lambda_{1}[/mm] ) = -2
> -2 = -2
Das Ergebnis ist richtig, aber beim Einsetzen sind einige Flüchtigkeitsfehler:
[mm] $2\lambda_1-(2+2\lambda_1-3\lambda_2)-3\lambda_2 [/mm] = -2$
> 0 = 0
>
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] eine Teilmenge von I !
[mm] $L_1$ [/mm] ist Lösungsmenge des angegebenen LGS, somit auch Teilmenge der
Lösungsmenge.
>
> Ist mein Lösungsweg korrekt ?
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 20.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = -2
> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> III: [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> Ich erhalte:
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
>
> Somit ist das LGS linear abhängig.
>
> Ich erhalte als LGS:
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
>
> Ich setze [mm]L_{1}[/mm] in I
>
> [mm]2(\lambda_{1})[/mm] - [mm](2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2}[/mm] ) - 3
> [mm](-\lambda_{1}[/mm] ) = -2
> -2 = -2
> 0 = 0
>
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] eine Teilmenge von I !
>
> Ist mein Lösungsweg korrekt ?
ich weiß gerade gar nicht, warum Du einen solchen Aufwand betrieben
hast.
Ich schreibe der Einfachheit wegen $(x,y,z)$ statt [mm] $(x_1,x_2,x_3)\,.$ [/mm] Sei $(x,y,z) [mm] \in L_1\,.$
[/mm]
Dann gibt es $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $x=0+r*1+s*0=r\,,$ [/mm] $y=2+2*r+(-3)*s$ und [mm] $z=0+r*0+s*1\,.$
[/mm]
Dann ist
$2x-y-3z=2r-(2+2r-3s)-3s=2r-2+2r+3s-3s=-2$ (unabhängig von [mm] $r\,$ [/mm] oder [mm] $s\,$),
[/mm]
also gilt Gleichung I.
Weiter
$-4x+2y+6z=-4r+2*(2+2*r-3*s)+6s=-4r+4+4r-6s+6s=4$ (wie auch immer [mm] $r\,$ [/mm] oder [mm] $s\,$ [/mm] aussehen),
also gilt Gleichung II.
Zudem
$6x - 3y - [mm] 9z=6r-3(2+2*r+(-3)*s)-9*s=6r-6-6r+9s-9s=-6\,,$
[/mm]
also gilt Gleichung III.
Dies zeigt [mm] $L_1 \subseteq L\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Mo 20.04.2015 | | Autor: | Marcel |
P.S. Nebenbei:
> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = -2
hier ist wohl eine 3 vor dem [mm] $x_3$ [/mm] verlorengegangen!
> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
> III: [mm]6x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> Ich erhalte:
>
> I: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> II: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] = -2
>
> Somit ist das LGS linear abhängig.
Das ist okay. Man sieht eigentlich direkt bei
[mm] $\pmat{2 & -1 & -3 &|-2 \\ -4 & 2 & 6 &|4 \\ 6 & -3 & -9 &|-6}$,
[/mm]
dass -2*1.Zeile die 2. ergibt und 3*1.Zeile die 3. Damit kannst Du meine Methode
benutzen und musst etwa für
$(x,y,z)$ mit $ [mm] x=0+r\cdot{}1+s\cdot{}0=r\,, [/mm] $ $ [mm] y=2+2\cdot{}r+(-3)\cdot{}s [/mm] $ und $ [mm] z=0+r\cdot{}0+s\cdot{}1\,. [/mm] $
nur noch prüfen, ob
$2x-y-3z=-2$
(egal, wie auch [mm] $r,s\,$ [/mm] gewählt werden) gilt.
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Das war jetzt Quatsch von mir - denn im Endeffekt hast Du das ja genau
so gemacht! ^^ ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß,
Marcel
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