Teilkettenbedingung,faktoriell < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 17.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Folgere aus der Teilkettenbedingung: "Jede aufsteigende Folge [mm] (a_1) \subseteq (a_2) \subseteq [/mm] ... von Hauptidealen wird stationär, d.h. es existiert ein k [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] (a_i)=(a_k) [/mm] für jedes i [mm] \ge [/mm] k"
die Bedingung [mm] F_1: [/mm] "Jede Nichteinheit [mm] \not=0 [/mm] von R ist ein Produkt irreduzibler Elemente." |
Hallo,
Ang [mm] F_1 [/mm] ist nicht erfüllt. D.h. es existiren Nichteinheiten [mm] a\not=0 [/mm] von R sodass a kein Produkt von irreduziblen Elementen ist.
Jetzt wäre das Ziel eine aufsteigende Kette von Hauptidealen zu konstruieren, die nicht abbricht um zu einen Widerspruch zu gelangen.
Irreduzibel bedeutet für [mm] p\not=0, [/mm] p [mm] \in R^{\*}, [/mm] wenn p=ab [mm] \Rightarrow a\in R^{\*} \vee b\in R^{\*}.
[/mm]
Habt ihr einen Rat? Ich weiß nicht wie ich die Kette konstruieren soll.
|
|
| |
|
Sei $ a $ eine Nichteinheit. Ist $ a $ irreduzibel, so sind wir fertig. Ansonsten können wir $ [mm] a=a_1*b_1$ [/mm] schreiben, wobei $ [mm] a_1, b_1$ [/mm] beide Nichteinheiten sind. Es gilt $ [mm] (a)\subsetneq (a_1) [/mm] $. Sind $ [mm] a_1$, [/mm] $ [mm] b_1$ [/mm] irreduzibel, so sind wir fertig. Ansonsten sei o.B.d.A. $ [mm] a_1$ [/mm] nicht irreduzibel. Dann finden wir wie oben ein $ [mm] a_2$ [/mm] mit [mm] $(a_1)\subsetneq (a_2) [/mm] $. So können wir ewig weiterverfahren, wenn wir nicht irgendwann irreduzible Elemente erreichen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!!!
LG,
sissi
|
|
|
|
