Teilimpedanz < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mi 28.12.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Hallo,
ich hab zu einer Beispielaufgabe aus der Vorlesung eine Frage und zwar sollten wir dort die Teilimpedanz von einem Widerstand R = 10 Ohm und einer dazu parallelgeschalteten Spule L=31,8mH berechnen. |
Hier mein Ansatz
[mm] Z_{p}=R \parallel [/mm] XL
= [mm] \bruch{R*XL}{R+XL}
[/mm]
XL = 10Ohm [mm] *e^{j90°}
[/mm]
[mm] Z_{p}= \bruch{10Ohm* 10Ohm *e^{j90°}}{10Ohm+ 10Ohm *e^{j90°}}
[/mm]
Mein Lehrer kommt für [mm] Z_{p} [/mm] auf 7,07 [mm] Ohm*e^{-j45°} [/mm] und auf dieses Ergebnis komme ich leider nicht. Kann mir das nochmal jemand erklären? Mfg
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> ich hab zu einer Beispielaufgabe aus der Vorlesung eine
> Frage und zwar sollten wir dort die Teilimpedanz von einem
> Widerstand R = 10 Ohm und einer dazu parallelgeschalteten
> Spule L=31,8mH berechnen.
>
>
> Hier mein Ansatz
>
> [mm]Z_{p}=R \parallel[/mm] XL
>
> = [mm]\bruch{R*XL}{R+XL}[/mm]
Hier muss man genauer sein, denn das Produkt aus Reaktanz und Induktivität wäre falsch. Es ergibt sich für die Gesamtimpedanz der folgende Ausdruck
[mm] {\underline_{Z}}=\bruch{R*X_{L}}{R+X_{L}}.
[/mm]
> XL = 10Ohm [mm]*e^{j90°}[/mm]
Gesetz dem Fall einer zeitharmonischen Anregung und einer Frequenz von f=50Hz ist das korrekt. Die Rechenregeln der komplexen Rechnung sind dann anwendbar und für die Reaktanz gilt
[mm] X_{L}=j\omega{L}=j*2\pi*f*L=j*2\pi*50Hz*31,8*10^{-3}H\approx10\Omega*e^{j\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
> [mm]Z_{p}= \bruch{10Ohm* 10Ohm *e^{j90°}}{10Ohm+ 10Ohm *e^{j90°}}[/mm]
An dieser Stelle würde ich dir empfehlen, die allgemeine Schreibweise beizubehalten. Oben hast du bereits die Impedanz der Parallelschaltung ermittelt. Wir sind nun an einer Darstellung interessiert, die derjenigen einer allgemeinen komplexen Zahl
[mm] {\underline_{Z}}'=R'+jX'
[/mm]
ähnelt. Um diese Gestalt zu erreichen, erweitert man den rechten Term der Gleichung
[mm] {\underline_{Z}}=\bruch{R*j\omega{L}}{R+j\omega{L}}
[/mm]
konjugiert komplex. Es ergibt sich
[mm] {\underline_{Z}}=\bruch{R*j\omega{L}}{R+j\omega{L}}=\bruch{R*j\omega{L}}{R+j\omeha{L}}*\bruch{R-j\omega{L}}{R-j\omega{L}}
[/mm]
Fragen an dich: Welcher Ausdruck ergibt sich für den Realteil der Impedanz; welcher für den Imaginärteil?
Wenn du soweit bist, kannst du wie gewohnt gemäß
[mm] |{\underline_{Z}}|=\wurzel{(R')^{2}+{(X')}^{2}}
[/mm]
den Betrag der Impedanz berechnen. Für das Argument ergibt sich für [mm] R\not=0
[/mm]
[mm] \varphi=arctan\bruch{X'}{R'}, [/mm] für R'>0 und X'>0, bzw.
[mm] \varphi=2\pi+arctan\bruch{X'}{R'}, [/mm] für R'>0 und X'<0
> Mein Lehrer kommt für [mm]Z_{p}[/mm] auf 7,07 [mm]Ohm*e^{-j45°}[/mm] und
> auf dieses Ergebnis komme ich leider nicht. Kann mir das
> nochmal jemand erklären? Mfg
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 28.12.2011 | | Autor: | GvC |
Abgesehen davon, dass mit [mm] X_L [/mm] im Allgemeinen der Betrag des induktiven Widerstandes bezeichnet wird und mit [mm] jX_L [/mm] der induktive Widerstandsoperator, es also heißen muss
[mm]\underline{Z}=\frac{R\cdot jX_L}{R+jX_L}[/mm]
ist der Ratschlag, konjugiert komplex zu erweitern, das Verkehrteste, was man bei Vorliegen von Zahlenwerten tun kann. Gerade im vorliegenden Fall, wo [mm] X_L=10\Omega [/mm] (warum eigentlich, eine Frequenz war doch gar nicht angegeben, sondern musste offenbar zu f=50Hz erraten werden) lässt sich der Nener leicht in Exponetialform umwandeln, so dass sich ergibt
[mm]\underline{Z}=\frac{100\Omega^2\cdot e^{j90^\circ}}{\sqrt{2}\cdot 10\Omega\cdot e^{j45^\circ}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\Omega\cdot e^{j45^\circ}=7,07\Omega\cdot e^{j45^\circ}[/mm]
Da lässt sich der Betrag von [mm] \underline{Z} [/mm] direkt zu [mm] Z=7,07\Omega [/mm] und das Winkelargument zu [mm] \varphi=+45^\circ [/mm] ablesen (da hat der Lehrer einen Vorzeichenfehler gemacht, oder die Lösung ist falsch abgeschrieben).
Komjugiert komplexe Erweiterung bläht den Ausdruck nur unnötig auf und beinhaltet demzufolge auch zusätzliche Fehlermöglichkeiten.
|
|
|
|
