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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Mo 26.11.2007 | | Autor: | lc76 |
Von einer Folge [mm] b_{n} [/mm] sei bekannt, daß die Teilfolgen [mm] b_{2n}, b_{2n-1} [/mm] und [mm] b_{7n}
[/mm]
alle konvergieren, aber mit unbekannten Grenzwerten. Konvergiert dann auch
[mm] b_{n} [/mm] ? (Beweis oder Gegenbeispiel!)
Brauche Hilfe bei der Aufgabe. Wie geht man hier vor? Es ist ja bekannt, dass wenn eine [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert => jede Teilfolge [mm] a_{n}_{k} [/mm] auch gegen a konvergiert.
Und weiter? Wie löst man diese Aufgabe??
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> Von einer Folge [mm]b_{n}[/mm] sei bekannt, daß die Teilfolgen
> [mm]b_{2n}, b_{2n-1}[/mm] und [mm]b_{7n}[/mm]
> alle konvergieren, aber mit unbekannten Grenzwerten.
> Konvergiert dann auch
> [mm]b_{n}[/mm] ? (Beweis oder Gegenbeispiel!)
>
> Brauche Hilfe bei der Aufgabe. Wie geht man hier vor? Es
> ist ja bekannt, dass wenn eine [mm]a_{n}[/mm] gegen a konvergiert =>
> jede Teilfolge [mm]a_{n}_{k}[/mm] auch gegen a konvergiert.
>
> Und weiter? Wie löst man diese Aufgabe??
Hallo,
wenn [mm] b_{7n} [/mm] konvergiert gegen a, müssen sämtliche Teilfolgen auch gegen a konvergieren.
Also konvergiert [mm] (b_7, b_{21},b_{35}, [/mm] ...) gegen a und es konvergiert
[mm] (b_{14}, b_{28},b_{42}, [/mm] ...) gegen a.
Wovon sind das jeweils Teilfolgen, und was hat das für Folgen?
Gruß v. Angela
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Ich wuerde es so schreiben:
Seien [mm] $A=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n}$, $B=\lim_{n\rightarrow \infty} b_{2k-1}$ [/mm] und [mm] $C=\lim_{n\rightarrow\infty} b_{7n}$. [/mm]
Behauptung: $A=B=C$
Beweis: [mm] $B_{7n}$ [/mm] konvergiert, also auch jede Teilfolge von [mm] $b_{7n}$. [/mm] Zum Beispiel: [mm] $b_{7\cdot 2k}$ [/mm] und [mm] $b_{7(2k-1)}$ [/mm] konvergieren alle gegen $C$. Diese Teilfolgen sind allerdings auch Teilfolgen von den Folgen [mm] $b_{2n}$, $b_{2n-1}$ [/mm] 
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