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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.
a) Seien [mm] (a_{\lambda(k)}) [/mm] und [mm] (a_{\nu{k}}) [/mm] zwei konvergente Teilfolgen mit [mm] \{\lambda(k) | k\in\IN\} \cup \{\nu(k) | k\in\IN\} [/mm] = [mm] \IN [/mm] . Zeigen Sie: haben die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert a, so konvergiert auch [mm] (a_{n}) [/mm] gegen a.
b) Es seien [mm] (a_{2n}), (a_{2n+1}) [/mm] und [mm] (a_{3n}) [/mm] konvergent. Konvergiert dann auch [mm] (a_{n}) [/mm] ? (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Hallo 
Also ich habe ein paar Probleme mit der Aufgabe... ich fange erstmal bei der a) an.
Ich habe ja gegeben, dass
[mm] \limes_{\lambda(k)\rightarrow\infty} [/mm] = a und
[mm] \limes_{\nu(k)\rightarrow\infty} [/mm] = a ist.
Und auch, dass diese beiden Funktionen [mm] \lambda(k) [/mm] und [mm] \nu(k) [/mm] die kompletten natürlichen Zahlen [mm] \IN [/mm] darstellen.
Ich soll zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}) [/mm] = a ist.
Naja, also für mich ist das irgendwie klar, dass es so ist, weil die beiden Teilfolgen ja zusammen die [mm] (a_{n}) [/mm] ergeben, aber wie zeige ich das?
Mache ich das irgendwie mit dem:
[mm] |a_{\lambda(k)} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |a_{\lnu(k)} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
Also bringt mich das irgendwie weiter? Wäre echt dankbar für einen kleinen Tipp.
Und zu der b)
Das sind ja erstmal 3 Teilfolgen.
Also an sich stellt die Teilfolge [mm] (a_{2n}) [/mm] ja alle geraden Folgeglieder dar, Und die Teilfolge [mm] (a_{2n+1}) [/mm] ja alle ungeraden. Und die dritte Teilfolge ja auch nochmal alle Folgeglieder, die durch 3 teilbar sind. Normalerweise würde ich ja sagen, dass dann [mm] (a_{n}) [/mm] auch konvergent ist.
Aber jetzt gerade frage ich mich, ob denn die drei Teilfolgen auch alle gegen den gleichen Wert konvergieren. Da steht ja nichts dazu. Da frage ich mich dann halt, ob [mm] (a_{n}) [/mm] dann konvergent sein muss. Wenn ich das so betrachte, dann würde ich sagen nein.
Ist mein Denken grad überhaupt richtig?
lg Elfe
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Hallo,
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> Und zu der b)
>
> Das sind ja erstmal 3 Teilfolgen.
> Also an sich stellt die Teilfolge [mm](a_{2n})[/mm] ja alle geraden
> Folgeglieder dar, Und die Teilfolge [mm](a_{2n+1})[/mm] ja alle
> ungeraden. Und die dritte Teilfolge ja auch nochmal alle
> Folgeglieder, die durch 3 teilbar sind. Normalerweise würde
> ich ja sagen, dass dann [mm](a_{n})[/mm] auch konvergent ist.
> Aber jetzt gerade frage ich mich, ob denn die drei
> Teilfolgen auch alle gegen den gleichen Wert konvergieren.
> Da steht ja nichts dazu. Da frage ich mich dann halt, ob
> [mm](a_{n})[/mm] dann konvergent sein muss. Wenn ich das so
> betrachte, dann würde ich sagen nein.
> Ist mein Denken grad überhaupt richtig?
>
> lg Elfe
Nehme doch einfach mal an, die erste Teilfolge (alle geraden Zahlen) konvergiert gegen den Grenzwert a.
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n} [/mm] = a. Dann konverwieder auch jede Teilfolge von [mm] a_{2n} [/mm] gegen a. z.B. die Teilfolge [mm] a_{6n}.
[/mm]
Ähnlich gehst du bei der Folge mit den ungeraden Zahlen vor. Diese konvergiert gegen b. Suche dir auch da wieder eine geeignete Teilfolge heraus, die dann auch gegen b konvergiert.
Die dritte Folge konvergiert gegen c.
Jetzt musst du noch noch versuchen einen Zusammenhang zwischen a,b,c herzustellen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
> Nehme doch einfach mal an, die erste Teilfolge (alle
> geraden Zahlen) konvergiert gegen den Grenzwert a.
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}[/mm] = a. Dann
> konverwieder auch jede Teilfolge von [mm]a_{2n}[/mm] gegen a. z.B.
> die Teilfolge [mm]a_{6n}.[/mm]
Okay, ich nehme also die Teilfolge [mm] (a_{6n}), [/mm] die ebenfalls gegen a konvergiert.
> Ähnlich gehst du bei der Folge mit den ungeraden Zahlen
> vor. Diese konvergiert gegen b. Suche dir auch da wieder
> eine geeignete Teilfolge heraus, die dann auch gegen b
> konvergiert.
Also hier könnte ich ja z.B. dann die Folge [mm] (a_{4n+1}) [/mm] nehmen, oder? Die konvergiert dann auch gegen b.
> Die dritte Folge konvergiert gegen c.
bei der dritten Folge kann ich mir ja auch die Teilfolge [mm] (a_{6n}) [/mm] rauspicken, die gegen c konvergiert, weil [mm] (a_{3n}) [/mm] ja gegen c konvergiert.
>
> Jetzt musst du noch noch versuchen einen Zusammenhang
> zwischen a,b,c herzustellen.
Der Zusammenhang ist ja, dass die Grenzwerte a und c quasi gleich sind. Aber ich weiß immer noch nicht so recht, was der Grenzwert b damit zu tun hat. Also in welchem Zusammenhang der stehen könnte. Ich würde immer noch sagen, dass es ein anderer sein könnte.
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) wähle ein N sodass für die eine und für die andere Folge gilt dass die Differenz [mm] <\varepsilon [/mm] ist.
Jetzt ein beliebiges [mm] a_n [/mm] n>N was kannst du folgern?
zu b) [mm] a_{3n} [/mm] konvergiert gegen a, also auch eine Teilfolge [mm] a_{6n} [/mm] gegen a.
Dasselbe für [mm] a_{2n} [/mm] gegen b dann auch [mm] a_{6n} [/mm] gegen B was folgt für b?
jetzt noch [mm] a_{2n+1} [/mm] gegen c wieder ne geignete Teilfolge und eine von [mm] a_{3n} [/mm] und du hast auch noch a=c.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
> zu a) wähle ein N sodass für die eine und für die andere
> Folge gilt dass die Differenz [mm]<\varepsilon[/mm] ist.
> Jetzt ein beliebiges [mm]a_n[/mm] n>N was kannst du folgern?
Du hast gesagt, "dass die Differenz [mm] <\varepsilon [/mm] ist". Meinst du jetzt die Differenz zwischen den Folgegliedern und dem Grenzwert a? Ich geh jetzt einfach mal davon aus.
Also wähle ich ein N mit [mm] \lambda(k)\ge [/mm] N und [mm] \nu(k)\ge [/mm] N so dass gilt:
[mm] |a_{\lambda(k)} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
UND
[mm] |a_{\nu(k)} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Meinst du das so? Und da [mm] \lambda(k) \cup \nu(k) [/mm] = [mm] \IN, [/mm] betrachte ich die Folge [mm] a_{n} [/mm] für die dann gilt, dass ab einem bestimmten [mm] n\ge [/mm] N gilt, dass
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
Oder wie meintest du das?
> zu b) [mm]a_{3n}[/mm] konvergiert gegen a, also auch eine Teilfolge
> [mm]a_{6n}[/mm] gegen a.
> Dasselbe für [mm]a_{2n}[/mm] gegen b dann auch [mm]a_{6n}[/mm] gegen B was
> folgt für b?
Okay, moment... irgendwie sowas hatte ich ja aufgeschrieben oben, oder?
Also [mm] (a_{3n}) [/mm] konvergiert gegen a, also auch eine Teilfolge [mm] (a_{6n}) [/mm] konvergiert gegen a.
Die Folge [mm] (a_{2n}) [/mm] konvergiert gegen b, also auch eine Teilfolge [mm] (a_{6n}) [/mm] konvergiert gegen b.
Damit sind der Grenzwert a und b identisch.
> jetzt noch [mm]a_{2n+1}[/mm] gegen c wieder ne geignete Teilfolge
> und eine von [mm]a_{3n}[/mm] und du hast auch noch a=c.
Hmm... ich hab mal versucht die Teilfolge [mm] (a_{3(2n+1)}) [/mm] . Das müsste doch eine Teilfolge für beide sein, oder? Und damit müsste der Grenzwert ja auch a = c sein.
Also ist der Grenzwert von allen 3 gleich, nämlich a=b=c.
Und hat damit [mm] (a_{n}) [/mm] auch den Grenzwert weil die Teilfolgen alle den gleichen Grenzwert haben? Irgendwie.... ist mir das nicht ganz klar...
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Elfe!
> Hallo,
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> > zu a) wähle ein N sodass für die eine und für die andere
> > Folge gilt dass die Differenz [mm]<\varepsilon[/mm] ist.
> > Jetzt ein beliebiges [mm]a_n[/mm] n>N was kannst du folgern?
>
>
> Du hast gesagt, "dass die Differenz [mm]<\varepsilon[/mm] ist".
> Meinst du jetzt die Differenz zwischen den Folgegliedern
> und dem Grenzwert a? Ich geh jetzt einfach mal davon aus.
>
> Also wähle ich ein N mit [mm]\lambda(k)\ge[/mm] N und [mm]\nu(k)\ge[/mm] N so
> dass gilt:
> [mm]|a_{\lambda(k)}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> UND
> [mm]|a_{\nu(k)}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Meinst du das so? Und da [mm]\lambda(k) \cup \nu(k)[/mm] = [mm]\IN,[/mm]
> betrachte ich die Folge [mm]a_{n}[/mm] für die dann gilt, dass ab
> einem bestimmten [mm]n\ge[/mm] N gilt, dass
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Oder wie meintest du das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist das Argument.
> > zu b) [mm]a_{3n}[/mm] konvergiert gegen a, also auch eine Teilfolge
> > [mm]a_{6n}[/mm] gegen a.
> > Dasselbe für [mm]a_{2n}[/mm] gegen b dann auch [mm]a_{6n}[/mm] gegen B
> was
> > folgt für b?
>
> Okay, moment... irgendwie sowas hatte ich ja aufgeschrieben
> oben, oder?
>
> Also [mm](a_{3n})[/mm] konvergiert gegen a, also auch eine Teilfolge
> [mm](a_{6n})[/mm] konvergiert gegen a.
>
> Die Folge [mm](a_{2n})[/mm] konvergiert gegen b, also auch eine
> Teilfolge [mm](a_{6n})[/mm] konvergiert gegen b.
>
> Damit sind der Grenzwert a und b identisch.
>
> > jetzt noch [mm]a_{2n+1}[/mm] gegen c wieder ne geignete Teilfolge
> > und eine von [mm]a_{3n}[/mm] und du hast auch noch a=c.
>
> Hmm... ich hab mal versucht die Teilfolge [mm](a_{3(2n+1)})[/mm] .
> Das müsste doch eine Teilfolge für beide sein, oder? Und
> damit müsste der Grenzwert ja auch a = c sein.
>
> Also ist der Grenzwert von allen 3 gleich, nämlich a=b=c.
>
> Und hat damit [mm](a_{n})[/mm] auch den Grenzwert weil die
> Teilfolgen alle den gleichen Grenzwert haben? Irgendwie....
> ist mir das nicht ganz klar...
Dir fehlt nur noch ein Schritt: Die Folge [mm]a_n[/mm] konvergiert, wenn jede Teilfolge konvergiert und alle Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben. Frage dich also: kann es jetzt noch eine andere Teilfolge geben, die entweder nicht konvergiert oder die gegen einen anderen Grenzwert konvergiert? (Tipp: benutze das Ergebnibs von Teil a)!)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
> Ja, das ist das Argument.
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Also müsste das dann ja alles gewesen sein zu a, wenn ich das richtig begründe. Danke schonmal
>
> Dir fehlt nur noch ein Schritt: Die Folge [mm]a_n[/mm] konvergiert,
> wenn jede Teilfolge konvergiert und alle Teilfolgen den
> gleichen Grenzwert haben. Frage dich also: kann es jetzt
> noch eine andere Teilfolge geben, die entweder nicht
> konvergiert oder die gegen einen anderen Grenzwert
> konvergiert? (Tipp: benutze das Ergebnibs von Teil a)!)
>
Gut, also wenn ich das Ergebnis der a dazu benutze, würde ich sagen, dass [mm] (a_{n}) [/mm] auch konvergiert gegen den gleichen Grenzwert, da [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n+1}) [/mm] ja quasi die ganze Folge [mm] (a_{n}) [/mm] darstellen, weil es ja die ungeraden Folgeglieder und die geraden Folgeglieder sind. Hmm richtig?
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b) dein Argument ist richtig, aber damit die 2 denselben GW haben brauchst du natürlich das Argument mit den [mm] a_{3n}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Elfe |
Okay, danke für den Tipp. Stimmt natürlich, dass ich die 3n noch dazu packen muss, damit ich alles habe und das so begründen kann.
Merci
lg Elfe
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