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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 26.10.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | Sei K ein angeordneter Körper, und seien a, b, c, d [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:
Sind a, b, c, d > 0 und ist [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}, [/mm] so folgt [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a+c}{b+d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} [/mm] |
Hallo,
kann man diese Aufgabe evtl. dadurch lösen, dass man durch die Definition weiß, dass [mm] \bruch{a}{b} [/mm] > 0 und [mm] \bruch{c}{d} [/mm] > 0 ist und man somit durch 0 ersetzen kann?
Also:
[mm] \bruch{a}{b}< \bruch{a+c}{b+d}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b}< \bruch{0+c}{0+d}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b}< \bruch{c}{d}
[/mm]
und das selbe für [mm] \bruch{a+c}{b+d}< \bruch{c}{d}.
[/mm]
Oder mache ich es mir damit zu einfach?
Vielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 26.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei K ein angeordneter Körper, und seien a, b, c, d [mm]\in[/mm] K.
> Zeigen Sie:
>
> Sind a, b, c, d > 0 und ist [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d},[/mm] so
> folgt [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm] < [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> Hallo,
>
> kann man diese Aufgabe evtl. dadurch lösen, dass man durch
> die Definition weiß, dass [mm]\bruch{a}{b}[/mm] > 0 und [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> > 0 ist und man somit durch 0 ersetzen kann?
Nein.
Zur Beweisfindung kannst du mal den linken Teil der Behauptung umformen (beim richtigen Beweis darf man nicht von der Behauptung ausgehen, den jetzt gefundenen Weg musst du nachher umkehren).
Aus [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < [mm]\bruch{a+c}{b+d}[/mm] folgt wegen a,b,c,d >0
a(b+d)<b(a+c)
Nach dem Ausmultiplizieren kannst du auf beiden Seiten ab subtrahieren und erhältst
ad<bc und daraus a/b < c/d (und das ist deine Voraussetzung)
Nimm jetzt für den eigentlichen Beweis a/b < c/d tatsächlich als Voraussetzung und gehe den Weg der Beweisfindung rückwärts, bis du bei der Behauptung bist.
Die rechte Hälfte der Kettenungleichung beweist sich analog.
Gruß Abakus
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> Also:
> [mm]\bruch{a}{b}< \bruch{a+c}{b+d}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{a}{b}< \bruch{0+c}{0+d}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \bruch{a}{b}< \bruch{c}{d}[/mm]
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> und das selbe für [mm]\bruch{a+c}{b+d}< \bruch{c}{d}.[/mm]
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> Oder mache ich es mir damit zu einfach?
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> Vielen Dank im Vorraus!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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