Teilbarkeitsregeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 11.11.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) Aus d| ab folgt d| a oder d| b
b) Aus d| a und d| (2a-b) folgt d| b
c) Aus d| a folgt [mm] d^3| a^4
[/mm]
d) Aus d| a und d| [mm] b^2 [/mm] folgt d| (a+b)
(a,b,d [mm] \in \IN)
[/mm]
Beweise wenn richtig und gibt ein gegenbeispiel wenn falsch. |
a) ist gültig denn a ist ein Vielfaches von b bzw b ist ein Vielfaches von a wenn d| ab gilt. daher muss d durch a oder b teilbar sein!Aber wie beweist man das?
b)gilt nicht
c) ist gültig, da Potenzen ein Vielfaches darstellen. Ich habe Probleme mit dem Beweisen. Ich verstehe das es so ist,. aber die nötige Argumentation dazu fehlt mir.
d) gilt nicht, da die Summe kein Vielafches von a und b sein muss
Könnt ihr mir mit der Beweisstruktur etwas auf die Sprünge helfen?
LG
heinze
|
|
| |
|
Hallo heinze,
da stimmt noch einiges nicht.
> a) Aus d| ab folgt d| a oder d| b
> b) Aus d| a und d| (2a-b) folgt d| b
> c) Aus d| a folgt [mm]d^3| a^4[/mm]
> d) Aus d| a und d| [mm]b^2[/mm] folgt d|(a+b)
>
> (a,b,d [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Beweise wenn richtig und gibt ein gegenbeispiel wenn
> falsch.
Hast Du das mit dem Gegenbeispiel gelesen?
> a) ist gültig denn a ist ein Vielfaches von b bzw b ist
> ein Vielfaches von a wenn d| ab gilt.
Unsinn.
> daher muss d durch a
> oder b teilbar sein!Aber wie beweist man das?
Wer will das überhaupt wissen. Hier ist ausgesagt, dass d ein Teiler von ab ist. Daraus soll dann folgen, dass d entweder ein Teiler von a oder ein Teiler von b ist, oder auch beides.
Gegenbeispiel: d=6, a=2, b=3.
> b)gilt nicht
O doch, das gilt.
> c) ist gültig, da Potenzen ein Vielfaches darstellen.
Aha. Würde dann also auch [mm] d^4|a^3 [/mm] gelten?
Die Begründung reicht nicht.
> Ich
> habe Probleme mit dem Beweisen. Ich verstehe das es so
> ist,. aber die nötige Argumentation dazu fehlt mir.
Der Grund, den Du angibst, spricht nicht dafür, dass Du es schon verstanden hast, aber möglicherweise formulierst Du auch nur unpräzise.
> d) gilt nicht, da die Summe kein Vielafches von a und b
> sein muss
Ein Gegenbeispiel ist gefragt. Finde mal selbst eins.
> Könnt ihr mir mit der Beweisstruktur etwas auf die
> Sprünge helfen?
Später. Erst mal musst Du die Aussage der Aufgabe(n) verstehen.
Gib mal Beispiele oder Gegenbeispiele, je nachdem, was möglich ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 11.11.2012 | | Autor: | heinze |
a) d| ab [mm] \Rightarrow [/mm] d|a oder d|b
d=6, a=3, b=4
6|12 [mm] \Rightarrow [/mm] 6|3 oder 6| 4
[mm] \Rightarrow [/mm] gilt also nicht wie mit Gegenbeispiel gezeigt.
b) d|a und d|(2a-b) [mm] \Rightarrow [/mm] d|b
d=3, a=9, b=6
3|6 und 3|9 [mm] \Rightarrow [/mm] 3|3
Gilt !
c) d|a [mm] \Rightarrow a^2|a^4
[/mm]
d=3, a=6, b=9
3|6 und 27|1296 [mm] \Rightarrow [/mm] (=48)
Gültig!
d) d|a und [mm] d|b^2 \Rightarrow [/mm] d|(a+b)
d=3, a=6, b=9
3|6 und 3|81 [mm] \Rightarrow [/mm] 3|87
Stimmt auch.
Nun fehlt mir allerdings noch eine vernünftige Beweisstruktur hierfür.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Mit einem Beispiel kannst Du zeigen, dass Du die zu beurteilende Aussage überhaupt erst einmal verstanden hast. Beweisen kannst Du sie damit nicht, auch nicht mit beliebig vielen Beispielen.
Dafür genügt ein einziges Gegenbeispiel, um eine Aussage zu widerlegen.
> a) d| ab [mm]\Rightarrow[/mm] d|a oder d|b
>
> d=6, a=3, b=4
>
> 6|12 [mm]\Rightarrow[/mm] 6|3 oder 6| 4
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] gilt also nicht wie mit Gegenbeispiel gezeigt.
Korrekt.
> b) d|a und d|(2a-b) [mm]\Rightarrow[/mm] d|b
> d=3, a=9, b=6
>
> 3|6 und 3|9 [mm]\Rightarrow[/mm] 3|3
>
> Gilt !
Das ist zwar wahr, aber noch nicht gezeigt.
Fang mal so an: k*d=a und m*d=2a-b.
Was folgt für b, wenn man die erste in die zweite Gleichung einsetzt?
> c) d|a [mm]\Rightarrow a^2|a^4[/mm]
Die Behauptung war: [mm] d^3|a^4
[/mm]
> d=3, a=6, b=9
>
> 3|6 und 27|1296 [mm]\Rightarrow[/mm] (=48)
>
> Gültig!
Wieder: ein Beispiel genügt nicht.
Auch wieder: k*d=a. Dann einsetzen.
> d) d|a und [mm]d|b^2 \Rightarrow[/mm] d|(a+b)
>
> d=3, a=6, b=9
>
> 3|6 und 3|81 [mm]\Rightarrow[/mm] 3|87
>
> Stimmt auch.
Hier bist Du reingefallen.
Nimm mal d=4, a=4, b=2.
> Nun fehlt mir allerdings noch eine vernünftige
> Beweisstruktur hierfür.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 11.11.2012 | | Autor: | heinze |
Ok, also nochmal die Beweise von b) und c)
b) k*d=a und m*d=2a-b
m*d=2(kd)-b
b=2(kd) / md
b=2a/b
c) k*d=a und [mm] m*d^3=a^4
[/mm]
[mm] m*d^3=a^4
[/mm]
[mm] m=a^4/d^3 [/mm]
Noch eine Frage, auch wenn die nicht zum Thema gehört:
Zeige: Die Summe von 2013 aufeinanderfolgenden zahlen natürlichen Zahlen ist durch 2013 teilbar. Zeige mit der Formel von Gauß [mm] \summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}. [/mm] Gilt dies auch für 2012 statt 2013?
[mm] \summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{2013(2014)}{2}= [/mm] 2027091 =2013*1007
Die Summe muss also durch 2013 teilbar sein!
das scheint mir aber als Beweis etwas zu "kurz".
Gibt es noch eine andere Möglichkeit das mit der Summenformel von Gauß zu zeigen?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> b) k*d=a und m*d=2a-b
>
> m*d=2(kd)-b
> b=2(kd) / md
> b=2a/b
was soll denn das? das ist kein Schluss, wenn es einer wäre stimmte die Beh. nicht
ist dir klar das du behauptest [mm] b^2=a
[/mm]
> c) k*d=a und [mm]m*d^3=a^4[/mm]
> [mm]m*d^3=a^4[/mm]
>
> [mm]m=a^4/d^3[/mm]
damit hast du doch nichts bewiesen wieso ist m denn ganz?
>
> Noch eine Frage, auch wenn die nicht zum Thema gehört:
>
> Zeige: Die Summe von 2013 aufeinanderfolgenden zahlen
> natürlichen Zahlen ist durch 2013 teilbar. Zeige mit der
> Formel von Gauß [mm]\summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}.[/mm] Gilt
> dies auch für 2012 statt 2013?
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{2013(2014)}{2}=[/mm]
> 2027091 =2013*1007
>
> Die Summe muss also durch 2013 teilbar sein!
>
> das scheint mir aber als Beweis etwas zu "kurz".
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit das mit der
> Summenformel von Gauß zu zeigen?
der Beweis ist richtig, warum soll ein kurzer Beweis falsch sein?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 11.11.2012 | | Autor: | heinze |
Ich weiß nicht wie ich bei b) und c) zu der Behauptung komme.
da drehe ich mich gerade im Kreis, verstanden habe ich es leider noch nicht mit dem Beweisen.
ok,dann sollte das wohl genügen als Beweis. die Summe von 2012 aufeinanderfolgenden zahlen ist nicht durch 2012 teilbar, denn dies gilt nur für ungerade Zahlen. Ansonsten bleibt ein rest von n/2 also von 1006.
Reicht das als begründung und wen ich dieses mit Gauß-Formel zeige?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das zweite versteh ich nicht ganz, schreib es genauso auf, wie das mit 2013, und zeige, dass es nicht durch 2012 teilbar ist.
zu b)
a=k*d
nach Vor gilt 2a-b=md UND a=k*d mit m,k ganz
daraus folgt 2kd-b=md b=2kd-md=(2k-m)*d da 2k-m wieder ganz ist ist also b durch d Teilbar.
jetzt du mit den Potenzen!
Du muss wirklich mehr rumprobieren, du bringst uns immer wieder dazu dir was vorzukauen, ich denke dass du dadurch auf die Dauer geschädigt wirst.
bei jedem Umformungsschritt überlegen warum du ihn machst und was er für dein Ziel bringt.
Bitte vervollständige dein profil, bei welchen Studium brauchst du diese Aufgaben? hast du keine Kollegen, mit denen du diskutieren kannst? Wenn du uns nichts über dich verrätst, kann man dir viel weniger helfen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 11.11.2012 | | Autor: | heinze |
Vielen Dank, ich benötige immer noch Hinweise zum Lösen. Vieles traue ich mir auch nicht zu selbst zu probieren, aus Unsicherheit dass es falsch ist und das logische Denken fehlt mir noch. Das wurde ja in der Schule beim stupiden "Abarbeiten" höchst selten benötigt.
Ich studiere Mathe für die Sek I im 3. Semester.Angaben füge ich noch hinzu.
Aber die Beweisstruktur leuchtet mir nun ein.
Bei der Aufgabe bin ich mir unsicher, was den Beweis betrifft. Es gibt zu viele Punkte dafür, dass der Beweis so kurz ist wie ich das gezeigt habe.
[mm] \summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{2012(2013)}{2}= [/mm] 2025078= 2012*(1006,5) = 2012*1006+1006
Der erste Summand ist ganzzahlig durch 2012 teilbar, der zweite Summand nicht.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Dank, ich benötige immer noch Hinweise zum Lösen.
> Vieles traue ich mir auch nicht zu selbst zu probieren, aus
> Unsicherheit dass es falsch ist und das logische Denken
> fehlt mir noch. Das wurde ja in der Schule beim stupiden
> "Abarbeiten" höchst selten benötigt.
> Ich studiere Mathe für die Sek I im 3. Semester.
Warum?
So wie es aussieht, fehlt Dir jedes mathematische Verständnis für das, was Du da eigentlich tust. An der Uni "überlebt" man Mathe nicht mit Kochrezepten wie an der Schule. Man muss es wirklich selbst verstehen und ggf. selbst rekonstruieren können.
Dazu gehört unweigerlich, dass man etwas beweisen kann. Dazu gilt es, alle möglichen Fälle zu erfassen und zu zeigen, dass eine Behauptung auch für alle diese Fälle zwingend gilt.
> Angaben
> füge ich noch hinzu.
>
> Aber die Beweisstruktur leuchtet mir nun ein.
Dann zeig doch mal, dass aus d|a und d|(2a-b) zwingend folgt: d|b.
Das steht hier noch nirgends im Thread.
> Bei der Aufgabe bin ich mir unsicher, was den Beweis
> betrifft. Es gibt zu viele Punkte dafür, dass der Beweis
> so kurz ist wie ich das gezeigt habe.
Wie schon von leduart gesagt, ist die Kürze dafür kein Hindernis.
Aber Du hast die Aufgabe nicht genau gelesen. Das ist immer der erste Schritt.
> [mm]\summe_{i=1}^{n}j=\bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{2012(2013)}{2}=[/mm]
> 2025078= 2012*(1006,5) = 2012*1006+1006
>
> Der erste Summand ist ganzzahlig durch 2012 teilbar, der
> zweite Summand nicht.
Es geht darum, dass Du zeigen sollst, dass die Summe von 2013 aufeinanderfolgenden Zahlen durch 2013 teilbar ist, und zwar egal wo man anfängt. Also auch die Summe von 793 bis 2805.
Genauso bei 2012. Es geht nicht nur um die ersten 2012, sondern auch hier um beliebige. Du wirst feststellen, dass hier bei Teilung durch 2012 immer ein Rest von 1006 bleibt. Du sollst nun zeigen, wieso das so ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Fr 16.11.2012 | | Autor: | heinze |
Wie könnte ich das dann zeigen? Reicht das so wie ich das mit der Gauß Summe gemacht habe nicht? Ich habe keine Idee wie ich das sonst zeigen soll mit dieser Formel.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo heinze,
> Wie könnte ich das dann zeigen? Reicht das so wie ich das
> mit der Gauß Summe gemacht habe nicht?
Nein!
> Ich habe keine Idee
> wie ich das sonst zeigen soll mit dieser Formel.
Du addierst 2013 aufeinanderfolgende Zahlen addierst. Nennen wir die erste mal m. Dann ist die letzte also m+2012.
[mm] \summe_{k=m}^{m+2012}k=\left(\summe_{k=0}^{m+2012}k\right)-\left(\summe_{k=0}^{m-1}k\right)
[/mm]
Das kannst Du doch mit der Gaußformel lösen.
Die Summen auf der rechten Seite beginnen bei k=0, damit der Fall m=1 mit erfasst ist. Vergewissere Dich, dass auch für diese Summen die Gaußformel stimmt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Fr 16.11.2012 | | Autor: | heinze |
Es stand in de Aufgabe explizit, dass wir die Formel [mm] \summe_{i=1}^{n}j= [/mm]
[mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] nutzen sollen. Aber ich sehe nicht ganz wie sich deine Formel aus der Gauß Formel hier zusammensetzt. Werde es aber mal durchprobieren.
Danke für den Hinweis!
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hi,
> Es stand in de Aufgabe explizit, dass wir die Formel
> [mm]\summe_{i=1}^{n}j=[/mm]
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] nutzen sollen. Aber ich sehe nicht ganz
> wie sich deine Formel aus der Gauß Formel hier
> zusammensetzt. Werde es aber mal durchprobieren.
Ich habe den Eindruck, Du siehst es selbst dann nicht, wenn es jemand vorrechnet. Viel elementarer geht es nicht.
Oder ist es ein Problem, dass die Laufvariable nun k heißt statt i?
Du wirst doch etwas in eine schon vorliegende Formel einsetzen können, oder?
"Durchprobieren" ist nebenbei auch so ein Indiz. Du musst doch als erstes verstehen, dass die linke Summe genau die Aufgabenstellung wiedergibt.
Das zweite ist dann, die Umformung zu verstehen: wieso kann man, ohne die Gaußformel zu kennen, die linke Summe als Differenz der beiden auf der rechten Seite darstellen?
Auch das ist elementar. Es geht hier nur um die Summenschreibweise.
Trotzdem: viel Erfolg.
Grüße
reverend
|
|
|
|
