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| Aufgabe | Sei | die Teilbarkeitsrelation auf der Menge [mm] \IN [/mm] der natürlichen Zahlen.
a) Zeigen Sie: [mm] (\IN, [/mm] |) ist eine Ordnung
b) Gibt es in [mm] \IN [/mm] ein größtes bzw. ein kleinstes Element?
c) Gibt es in [mm] \IN\backslash\{1\} [/mm] kleinste Elemente?
d) Hat [mm] \IN\backslash\{1\} [/mm] ein Infimum bzw. ein Supremum? |
Hallo ihr,
ich habe seit mehreren Semestern keinen mathematischen Beweis mehr gemacht.
Ich habe mir zu der Aufgabe bisher folgendes gedacht:
a) Vor: Seien a,b,c [mm] \in \IN: [/mm] a|b [mm] \gdw \exists [/mm] c: b = a*c
Beh: [mm] (\IN, [/mm] |) ist eine Ordnung
Zu überprüfen sind die Eigenschaften reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
i) reflexiv: ZZ: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN: [/mm] a|a
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN: [/mm] a|a [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in \IN \exists [/mm] c [mm] \in \IN: [/mm] a = a*c
a=a*c [mm] \gdw [/mm] c=1
ii) antisymmetrisch: ZZ: [mm] \forall a,b\in\IN: [/mm] a|b [mm] \wedge [/mm] b|a [mm] \Rightarrow [/mm] a = b
[mm] \forall a,b\in\IN: [/mm] a|b [mm] \wedge [/mm] b|a [mm] \gdw \exists [/mm] c [mm] \in \IN: [/mm] b = a*c [mm] \wedge \exists [/mm] d [mm] \in \IN: [/mm] a = b*d
b = a*c [mm] \wedge [/mm] a = b*d
[mm] \Rightarrow [/mm] b = b*d*c [mm] \wedge [/mm] a = a*c*d
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 = d*c
[mm] \Rightarrow [/mm] d = 1 [mm] \wedge [/mm] c = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] b = a *1 [mm] \wedge [/mm] a = b*1
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b
iii) transitiv: ZZ [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IN: [/mm] a|b [mm] \wedge [/mm] b|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IN: [/mm] a|b [mm] \wedge [/mm] b|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c [mm] \gdw \exists [/mm] d [mm] \in \IN: [/mm] b = a*d [mm] \wedge \exists [/mm] e [mm] \in \IN: [/mm] c = b*e
b = a*d [mm] \wedge [/mm] c = b*e
[mm] \Rightarrow [/mm] c = a*d*e
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] f [mm] \in \IN: [/mm] c = a*f
[mm] \gdw [/mm] a|c
b) Vor: a [mm] \in \IN
[/mm]
(i) Beh: 1 ist kleinstes Element von [mm] (\IN, [/mm] |).
Bew: ZZ: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] IN: 1|a.
1|a [mm] \gdw. \exists [/mm] c [mm] \in \IN: [/mm] a = 1*c
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 1*a
[mm] \gdw [/mm] 1|a
(ii) Beh: 0 ist größtes Element von [mm] (\IN, [/mm] |).
Bew: ZZ: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in\IN: [/mm] a|0
a|0 [mm] \gdw [/mm] 0 = 0*a [mm] \Rightarrow [/mm] a|0
c) Beh: In [mm] \IN \backslash\{1\} [/mm] gibt es kein kleinstes Element.
Bew: Wir nehmen an, es gibt ein kleinstes Element [mm] c\in\IN\backslash\{1\}. [/mm] D.h. [mm] \forall a\in\IN\backslash\{1\}: [/mm] c|a
c|a [mm] \gdw \exists [/mm] d [mm] \in \IN\backslash\{1\}: [/mm] a = c*d
Wähle d = c-1 mit c [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] a = c*(c-1)
Wähle a = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = c*(c-1)
[mm] \gdw [/mm] 0 = c-1
[mm] \gdw [/mm] c=1 Widerspruch, da nach Vor. [mm] c\not=1
[/mm]
d) Da es kein kleinstes Element in [mm] \IN\backslash\{1\} [/mm] gibt es auch kein Infimum in [mm] \IN\backslash\{1\}.
[/mm]
Beh: Das Supremum von [mm] \IN\backslash\{1\} [/mm] ist 0.
Bew:
ZZ: (i) 0 ist größtes Element von [mm] \IN\backslash\{1\}
[/mm]
(ii) 0 ist kleineste obere Schranke in [mm] \IN\backslash\{1\}.
[/mm]
Bew: ZZ: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in\IN\backslash\{1\}: [/mm] a|0
a|0 [mm] \gdw [/mm] 0 = 0*a
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = 0
(ii) Dazu fällt mir leider nichts ein
Ich bin für jeden Korrekturhinweis dankbar.
Liebe Grüße
kraulquappe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kraulquappe und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> a) Vor: Seien a,b,c [mm]\in \IN:[/mm] a|b [mm]\gdw \exists[/mm] [mm] c$\red{\in\IN}$: [/mm] b = a*c
> Beh: [mm](\IN,[/mm] |) ist eine Ordnung
> Zu überprüfen sind die Eigenschaften reflexiv,
> antisymmetrisch, transitiv
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> i) reflexiv: ZZ: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IN:[/mm] a|a
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IN:[/mm] a|a [mm]\gdw \forall[/mm] a [mm]\in \IN \exists[/mm] c
> [mm]\in \IN:[/mm] a = a*c
> a=a*c [mm]\gdw[/mm] c=1
Nicht schön aufgeschrieben, aber richtig!
Schöner: Sei [mm] $a\in\IN$. [/mm] Wegen $a=a*1$ gilt $a|a$. Also ist die Relation | reflexiv.
> ii) antisymmetrisch: ZZ: [mm]\forall a,b\in\IN:[/mm] a|b [mm]\wedge[/mm] b|a
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
> [mm]\forall a,b\in\IN:[/mm] a|b [mm]\wedge[/mm] b|a [mm]\gdw \exists[/mm] c [mm]\in \IN:[/mm]
> b = a*c [mm]\wedge \exists[/mm] d [mm]\in \IN:[/mm] a = b*d
> b = a*c [mm]\wedge[/mm] a = b*d
> [mm]\Rightarrow[/mm] b = b*d*c [mm]\wedge[/mm] a = a*c*d
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = d*c
Diese Schlussfolgerung ist nur im Falle [mm] $a\not=0$ [/mm] bzw. [mm] $b\not=0$ [/mm] korrekt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] d = 1 [mm]\wedge[/mm] c = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] b = a *1 [mm]\wedge[/mm] a = b*1
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
Sonst:
> iii) transitiv: ZZ [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in \IN:[/mm] a|b [mm]\wedge[/mm] b|c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a|c
>
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in \IN:[/mm] a|b [mm]\wedge[/mm] b|c [mm]\Rightarrow[/mm] a|c [mm]\gdw \exists[/mm]
> d [mm]\in \IN:[/mm] b = a*d [mm]\wedge \exists[/mm] e [mm]\in \IN:[/mm] c = b*e
> b = a*d [mm]\wedge[/mm] c = b*e
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = a*d*e
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] f [mm]\in \IN:[/mm] c = a*f
> [mm]\gdw[/mm] a|c
> b) Vor: a [mm]\in \IN[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> (i) Beh: 1 ist kleinstes Element von
> [mm](\IN,[/mm] |).
> Bew: ZZ: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] IN: 1|a.
> 1|a [mm]\gdw. \exists[/mm] c [mm]\in \IN:[/mm] a = 1*c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = 1*a
> [mm]\gdw[/mm] 1|a
Wieder "falsch herum" aufgeschrieben, aber richtig.
Wegen $a=1*a$ gilt $1|a$.
> (ii) Beh: 0 ist größtes Element von [mm](\IN,[/mm] |).
> Bew: ZZ: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in\IN:[/mm] a|0
> [mm] $\red{(}$a|0[/mm] [mm]\gdw[/mm][mm] $\red{)}$ [/mm] 0 = 0*a [mm]\Rightarrow[/mm] a|0
> c) Beh: In [mm]\IN \backslash\{1\}[/mm] gibt es kein kleinstes
> Element.
> Bew: Wir nehmen an, es gibt ein kleinstes Element
> [mm]c\in\IN\backslash\{1\}.[/mm] D.h. [mm]\forall a\in\IN\backslash\{1\}:[/mm]
> c|a
Insbesonder $c|2$ und $c|3$, also $c|3-2$, d.h. $c|1$. Also $1=c*d$ für ein [mm] $d\in\IN$ [/mm] und damit $c=1$, Widerspruch.
> c|a [mm]\gdw \exists[/mm] d [mm]\in \IN\backslash\{1\}:[/mm] a = c*d
> Wähle d = c-1 mit c [mm]\ge[/mm] 3
Das d kannst du nicht selbst wählen. Es hängt von a und c ab. Auch [mm] $c\ge3$ [/mm] weißt du a priori nicht.
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = c*(c-1)
> Wähle a = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = c*(c-1)
> [mm]\gdw[/mm] 0 = c-1
> [mm]\gdw[/mm] c=1 Widerspruch, da nach Vor. [mm]c\not=1[/mm]
> d) Da es kein kleinstes Element in [mm]\IN\backslash\{1\}[/mm] gibt
> es auch kein Infimum in [mm]\IN\backslash\{1\}.[/mm]
Wie habt ihr Infimum definiert? Ich nehme mal an, dass ein Infimum in [mm] $\IN$ [/mm] gemeint ist. Und ein solches existiert tatsächlich, nämlich 1. Beweise, dass 1 größte untere Schranke von [mm] $\IN$ [/mm] ist!
> Beh: Das Supremum von [mm]\IN\backslash\{1\}[/mm] ist 0.
> Bew:
> ZZ: (i) 0 ist größtes Element von [mm]\IN\backslash\{1\}[/mm]
> (ii) 0 ist kleineste obere Schranke in
> [mm]\IN\backslash\{1\}.[/mm]
> Bew: ZZ: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in\IN\backslash\{1\}:[/mm] a|0
> a|0 [mm]\gdw[/mm] 0 = 0*a
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = 0
Nein. a war beliebiges Element von [mm] $\IN\setminus\{1\}$. [/mm] Dann muss nicht a=0 gelten.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = 0
> (ii) Dazu fällt mir leider nichts ein
Als größtes Element von [mm] $\IN\setminus\{1\}$ [/mm] genügt 0 der Relation $0|a$ für alle [mm] $a\in\IN\setminus\{1\}$, [/mm] also ist 0 eine obere Schranke von [mm] $\IN\setminus\{1\}$.
[/mm]
Noch zu zeigen ist, dass 0 KLEINSTE obere Schranke ist.
Sei dazu [mm] $c\in\IN$ [/mm] eine weitere obere Schranke von [mm] $\IN\setminus\{1\}$. [/mm] Zu zeigen ist $0|c$.
Wegen [mm] $0\in\IN\setminus\{1\}$ [/mm] erfüllt c als obere Schranke von [mm] $\IN\setminus\{1\}$ [/mm] insbesondere $0|c$.
Mit der gleichen Argumentation folgt übrigens: Größte Elemente sind stets Suprema.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
vielen Dank für deine Antwort!
Liebe Grüße
kraulquappe
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