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Hallo, Mitglieder des Matheraums!
Ich habe mich gerade mit einer Aufgabe beschäftigt, die da lautet:
Zeige: Für jede natürliche Zahl n ist [mm]4^{2n+1}+3^{n+2}[/mm] durch 13 teilbar.
Ich habe es mit der vollständigen Induktion versucht:
Der Induktionsanfang n=1 ist klar: 64+27 ist teilbar durch 13.
n-> n+1:
[mm]4^{2n+3}+3^{n+3}[/mm]
= [mm] 64*4^{2n}+27*3^n
[/mm]
Da 64+27 ja teilbar durch 13 sind, bleibt nun zu zeigen, dass [mm]16^n-3^n[/mm] durch 13 teilbar sind.
Und nun kommt meine Frage, genügt es hier an dieser Stelle zu sagen, dass [mm]16^n[/mm] und [mm]3^n[/mm] immer die gleichen Reste bei der Division durch 13 haben und durch die Subtraktion diese Reste aufgehoben werden und der komplette Term durch 13 teilbar ist? Oder wie sollte man die Aufgabe sonst zuende bringen. Kann mir da jemand helfen?
Mich würden auch komplett andere Lösungsansätze interessieren.
Vielen Dank mfg.
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> Hallo, Mitglieder des Matheraums!
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> Ich habe mich gerade mit einer Aufgabe beschäftigt, die da
> lautet:
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> Zeige: Für jede natürliche Zahl n ist [mm]4^{2n+1}+3^{n+2}[/mm]
> durch 13 teilbar.
>
> Ich habe es mit der vollständigen Induktion versucht:
>
> Der Induktionsanfang n=1 ist klar: 64+27 ist teilbar durch
> 13.
>
> n-> n+1:
>
> [mm]4^{2n+3}+3^{n+3}[/mm]
> = [mm]64*4^{2n}+27*3^n[/mm]
>
> Da 64+27 ja teilbar durch 13 sind, bleibt nun zu zeigen,
> dass [mm]16^n-3^n[/mm] durch 13 teilbar sind.
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> Und nun kommt meine Frage, genügt es hier an dieser Stelle
> zu sagen, dass [mm]16^n[/mm] und [mm]3^n[/mm] immer die gleichen Reste bei
> der Division durch 13 haben und durch die Subtraktion diese
> Reste aufgehoben werden und der komplette Term durch 13
> teilbar ist? Oder wie sollte man die Aufgabe sonst zuende
> bringen. Kann mir da jemand helfen?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das ist genau die richtige Idee!
> Mich würden auch komplett andere Lösungsansätze
> interessieren.
> Vielen Dank mfg.
Vielleicht äußert sich ja noch jemand. Meiner Meinung nach führt dein obiger Ansatz aber am leichtesten zum Ziel.
Auch ohne Induktion.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mi 17.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
dann äußere ich mich mal.
Ist das Rechnen mit Kongruenzen oder in Restklassenringen bekannt? Dann geht es ganz fix, wir rechnen jetzt einfach modulo 13:
[mm] 4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2} \equiv 4*16^{n} [/mm] + [mm] 9*3^{n} [/mm]
[mm] \equiv 4*3^{n} [/mm] + [mm] 9*3^{n}
[/mm]
[mm] \equiv 13*3^{n} \equiv [/mm] 0
und fertig! Nix mit vollst. Ind.
Hoffentlich habe ich die Formeln hingekricht...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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