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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | Teilbarkeitsbeweis...
[mm] 3n^3-18n^2+42n [/mm] ist durch 9 ohne Rest teilbar für [mm] n\in\IN [/mm] |
Hey Zusammen,
habe kurz ein Frage zu einem Beweis,
es ist ein Teilbarkeitsbeweis...
Aufgabe:
[mm] 3n^3-18n^2+42n [/mm] ist durch 9 ohne Rest teilbar für [mm] n\in\IN
[/mm]
Gehen Sie folgendermaßen vor:
1. Induktionsanfang: Zeigen sie, dass die Summe in (1) für n=1 durch 9 ohne Rest teilbar ist.
2. IV: Schreiben sie die Induktionsvoraussetzung hin.
3. IS: Zeigen Sie nun, dass die Summe in (1) für n+1 durch 9 teilbar ist.
Tipp: Sie können die folgende Identität benutzen:
[mm] (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
[/mm]
da habe ich alles fertig bis auf den letzten Teil der IS ...
da kam ich am Ende, nach ausmultiplizieren usw auf [mm] (3n^3-18n^2+42n)+3n2-33n+25 [/mm] ...
der erste Teil in den Klammern ist nach der IV durch 9 ohne Rest teilbar, aber der Teil nach der Klammer leider nicht ...
habe dafür auch nicht den Tipp [mm] (a+b)^3=... [/mm] benutzt ...
muss ich den denn benutzen um auf eine lösung zu kommen?
oder kann die Lösung auch sein, dass es nicht für n+1 funktionier?
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Hallo Nicky-01,
> Teilbarkeitsbeweis...
> [mm]3n^3-18n^2+42n[/mm] ist durch 9 ohne Rest teilbar für [mm]n\in\IN[/mm]
> Hey Zusammen,
> habe kurz ein Frage zu einem Beweis,
> es ist ein Teilbarkeitsbeweis...
>
> Aufgabe:
>
> [mm]3n^3-18n^2+42n[/mm] ist durch 9 ohne Rest teilbar für [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Gehen Sie folgendermaßen vor:
> 1. Induktionsanfang: Zeigen sie, dass die Summe in (1)
> für n=1 durch 9 ohne Rest teilbar ist.
> 2. IV: Schreiben sie die Induktionsvoraussetzung hin.
> 3. IS: Zeigen Sie nun, dass die Summe in (1) für n+1
> durch 9 teilbar ist.
> Tipp: Sie können die folgende Identität benutzen:
> [mm](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/mm]
>
>
>
> da habe ich alles fertig bis auf den letzten Teil der IS
> ...
> da kam ich am Ende, nach ausmultiplizieren usw auf
> [mm](3n^3-18n^2+42n)+3n2-33n+25[/mm] ...
> der erste Teil in den Klammern ist nach der IV durch 9
> ohne Rest teilbar, aber der Teil nach der Klammer leider
> nicht ...
Da hast Du Dich leider verrechnet.
> habe dafür auch nicht den Tipp [mm](a+b)^3=...[/mm] benutzt ...
> muss ich den denn benutzen um auf eine lösung zu kommen?
Ja, der Tipp ist nützlich.
> oder kann die Lösung auch sein, dass es nicht für n+1
> funktionier?
>
Nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
wie bzw wo kann ich den den Tipp nutzen?
weiß jetzt leider nicht wofür ich den nhutzen soll, bzw was ich damit ersetzen soll oder für was der auch immer da ist ...
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Hallo Nicki-01,
> wie bzw wo kann ich den den Tipp nutzen?
Im Induktionsschritt betrachtest du $ [mm] 3(n+1)^3-18(n+1)^2+42(n+1) [/mm] $.
Wende die Identität auf [mm] (n+1)^3 [/mm] an und forme weiter um, bis zu die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
also soll ich das [mm] (n+1)^3 [/mm] ersetzen?
also soll ich mit 3(mit [mm] a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)-18(n+1)^2+42(n+1) [/mm] weiter rechnen?
was soll mir das denn bringen wenn ich da mit a und b weiter rechne?
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> also soll ich das [mm](n+1)^3[/mm] ersetzen?
> also soll ich mit 3(mit
> [mm]a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)-18(n+1)^2+42(n+1)[/mm] weiter rechnen?
Nein, a und b ersetzen. Dann gilt [mm] (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
aso ja, das hatte ich ja gemacht ... hatte mich da vorher nur einmal verrechnet ...
hab da dann
[mm] 3(n^3+3n^2+3n+1)-18(n2+2n+1)+42n+42 [/mm] ...
also [mm] 3n^3+9n^2+9n+3-18n^2-36n-18+42n+42 [/mm] ...
wdann könnte man doch so weiter rechnen:
[mm] (3n^3-18n^2+42n)+9n^2+9n+3-36n-18+42=
[/mm]
[mm] (3n^3-18n^2+42)+9n^2-27n+27 [/mm] ...
und nach der IV wäre der Teil in der Klammer durch 9 teilbar ... und der Teil nach der Klammer kann mana uch so schreiben [mm] 9(n^2-3n+3) [/mm] ... wäre also auch durch 9 ohne rest teilbar ...
ohhh man ... ich hatte vorher nur einen kleinen mini rechenfehler ... deshalb kam ich nicht auf ein ergebnis -.-"
also wenn das jetzt so stimmt,
dann danke ich viel mal für die hilfe ...
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Hallo nicki,
das sieht gut ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
LG
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